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定律与证明

物理定律、公式与公理——命题陈述、为什么成立，以及（如有）分步证明。

所有类型定理公式公理引理猜想定义

光的折射与折射率

  1. 斯涅尔–笛卡尔折射定律
    n₁·sin i = n₂·sin r — 光线从折射率 n₁ 进入 n₂ 的介质时在界面偏折,i 为入射角,r 为折射角(均相对法线)。公式已证明光学

平面镜

  1. 反射定律
    反射角等于入射角(i' = i);入射光线、反射光线与入射点处的法线在同一平面内。公式已证明光学

黑体辐射与普朗克定律

  1. 斯特藩–玻尔兹曼定律
    M = σ·T⁴ — 理想黑体单位面积的总辐射功率与绝对温度的四次方成正比,σ = 5.670374×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴。公式已证明凝聚态物理学

中心力场中的运动与开普勒问题

  1. 开普勒第二定律——等面积
    太阳到行星的矢径在相等时间内扫过相等面积——行星在近日点快、远日点慢。定理已证明分析力学
  2. 开普勒第三定律——调和
    轨道周期的平方 T² 与半长轴的立方 a³ 成正比——对绕同一恒星的所有行星: T² / a³ = 4π² / (G·M) = 常数 G 是引力常数,M 是恒星质量。定理已证明分析力学
  3. 开普勒第一定律——椭圆轨道
    每颗行星沿以太太阳为一个焦点的椭圆轨道运行。太阳不在椭圆中心,而是偏向焦点一侧。定理已证明分析力学

弹簧振子

  1. 胡克定律
    F = −k·x — 弹簧对连接物体的弹力与形变量 x 成正比,方向与形变相反。劲度系数 k(N/m)反映弹簧的"硬度"。公式已证明振动与波

驻波

  1. 两端固定的弦上出现驻波的条件
    L=nλ/2L = n\lambda/2，n=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \ldots — 要形成稳定的驻波，弦长 L 必须等于半波长的整数倍。公式已证明振动与波

伯努利方程

  1. 伯努利方程式
    p+12ρv2+ρgh=常数（沿流线）p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{常数（沿流线）} — 适用于定常、无黏性、不可压缩的流动。公式已证明流体力学

液体压强与大气压

  1. 帕斯卡原理
    施加于密闭流体的附加压强会无衰减地传递到流体的每一点及容器壁——与容器形状无关。定理已证明流体力学

阿基米德原理

  1. 阿基米德原理
    FA=ρ流体 g V浸没F_A = \rho_{\text{流体}}\, g\, V_{\text{浸没}} — 浸在流体中的物体所受的浮力等于它所排开的流体的重量。定理已证明流体力学

气体定律

  1. 盖–吕萨克定律
    V/T = 常数(压强恒定)——定量气体的体积与绝对温度 T(开尔文)成正比。公式已证明热物理学

热力学第一定律

  1. 热力学第一定律
    ΔU=Q−A\Delta U = Q - A — 系统内能的变化等于其吸收的热量减去其对外所做的功。定理已证明热物理学

热力学第二定律

  1. 热力学第二定律
    孤立系统的熵随时间永不减少;在没有外界做功的情况下,热量不会自发地从较冷的物体传向较热的物体。定理已证明热物理学

理想气体状态方程

  1. 理想气体状态方程
    pV=nRTpV = nRT — 其中 pp 为压强，VV 为体积，nn 为物质的量（摩尔数），R≈8.314 J/(mol⋅K)R \approx 8.314\ \text{J/(mol·K)}，TT 为热力学温度。公式已证明热物理学

牛顿第二定律

  1. 牛顿第二定律
    F⃗=ma⃗\vec{F} = m\vec{a} — F⃗\vec{F} 是物体所受的合力，mm 是其惯性质量，a⃗\vec{a} 是其加速度。公式已证明牛顿力学
  2. 牛顿第三定律(作用与反作用)
    当物体 A 对物体 B 施加力时,物体 B 同时对 A 施加一个大小相等、作用线相同、方向相反的力。定理已证明牛顿力学
  3. 牛顿第一定律(惯性定律)
    除非受到力的作用,或所受合力为零,否则物体将保持静止或匀速直线运动状态。定理已证明牛顿力学

重力与重量

  1. 牛顿万有引力定律
    F=Gm1m2r2F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2} — 相距 rr 的两个质点 m1、m2m_1、m_2 之间的引力，其中引力常量 G≈6.674×10−11 N⋅m2/kg2G \approx 6.674 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2。公式已证明牛顿力学

电极与电极电位

  1. 法拉第电解定律
    m = (A·I·t) / (n·F) — 电极析出或溶解物质的质量与通过的电量 Q = I·t 成正比,A 为摩尔质量,n 为化合价,F = 96485 C/mol 是法拉第常数。公式已证明物理化学

一段电路的欧姆定律

  1. 欧姆定律
    I = U/R,电路某一段中的电流 I 与电压 U 成正比,与其电阻 R 成反比。公式已证明电磁学

全电路欧姆定律与电动势

  1. 基尔霍夫电路定律
    每个节点:流入电流之和等于流出电流之和(电流定律 KCL)。每个闭合回路:电动势之和等于电压降之和(电压定律 KVL)。定理已证明电磁学

电磁感应、法拉第–楞次定律

  1. 法拉第–楞次电磁感应定律
    ε=−NdΦdt\varepsilon = -N\dfrac{d\Phi}{dt} — 闭合回路中感应电动势与穿过它的磁通量 Φ\Phi 的变化率成正比（NN 为匝数）；负号（楞次）表明感应电流总是阻碍产生它的那个变化。定理已证明电磁学
  2. 楞次定律
    闭合回路中感应电流的方向总是使其自身磁场反抗产生它的磁通变化——数学上对应法拉第定律 ε = −dΦ/dt 中的"−"号。定理已证明电磁学

电荷与库仑定律

  1. 库仑定律
    F=k∣q1q2∣r2F = k\dfrac{|q_1 q_2|}{r^2} — 相距 rr 的两个点电荷 q1、q2q_1、q_2 之间的相互作用力，其中 k≈9×109 N⋅m2/C2k \approx 9 \times 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2。公式已证明电磁学

磁场与磁力

  1. 毕奥–萨伐尔定律
    dB = (μ₀/4π) · I·dℓ × r̂ / r² — 电流元 I·dℓ 在距离 r 处产生垂直于 dℓ 与 r 所在平面的磁感应强度 dB,按 1/r² 衰减。公式已证明电磁学

相对论动量与能量，E = mc²

  1. 质能等价
    E = mc^2,物体的静止能量 E 等于其静止质量 m 乘以光速的平方。公式已证明相对论

海森堡不确定性原理

  1. 海森堡不确定性原理
    Δx Δp≥ℏ/2\Delta x \, \Delta p \geq \hbar/2 — 粒子位置不确定度与动量不确定度的乘积永远不能小于固定的下限 ℏ/2\hbar/2。定理已证明量子力学

薛定谔方程

  1. 薛定谔方程
    iℏ ∂tψ=H^ψ=−ℏ22m∇2ψ+Vψi\hbar\,\partial_t\psi = \hat{H}\psi = -\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi — 描述量子波函数 ψ\psi 随时间演化的基本方程。公式已证明量子力学