分析力学
中心力场中的运动与开普勒问题
研究平方反比引力场中轨道随偏心率 e 的变化。验证圆锥曲线形式 ，区分椭圆、抛物线和双曲线轨道。
器材
- 围绕中心天体的轨道模型，带偏心率滑块 e（0–0.95）
- 轨道旁绘制的哈密顿–雅可比作用量曲面 S(q,t)
- 可旋转画布与参数读数行
- 暂停按钮，用于冻结运动
实验步骤
观察偏心率变化时的轨道
将滑块 e 从 0 拖到接近 0.95。e = 0 时轨道为圆；e 增大时椭圆变扁，中心天体位于一个焦点。将轨道形状与 对照。
估量轨道上的角速度
在几个位置按暂停并旋转画布观察。天体在近心点快、远心点慢——体现面积定律：，即角动量守恒。
对照作用量曲面 S(q,t)
观察轨道旁的作用量曲面 S(q,t)：它沿 q 的斜率给出动量 。改变 e，预测曲面如何变形，再在图上验证；注意该曲面是离散化的示意解，并非普遍形式。
模拟
实验历史
1576至1601年间，第谷·布拉赫不用望远镜便将行星位置测量精度提升到前所未有的水平。开普勒利用第谷的火星数据，在《新天文学》（1609年）中发表前两条定律：椭圆轨道与等面积定律；第三定律 见于《世界的和谐》（1619年）。
1687年，牛顿在《原理》中证明三条定律都是平方反比引力的推论——此后这一两体问题被称为开普勒问题。十九世纪分析力学中，哈密顿和雅可比对它以作用量函数 重新表述，为量子力学铺平了道路。