法則と証明

物理法則・公式・公理：内容、なぜ成り立つのか、そして可能な場合はステップごとの証明。

アルキメデスの原理
$F_A = \rho_{\text{fluid}}\, g\, V_{\text{submerged}}$ — 流体中に浸された物体に働く浮力は、その物体が押しのけた流体の重さに等しい。定理証明済み流体力学
オームの法則
I = U/R — 回路のある区間を流れる電流 I は、電圧 U に比例し、抵抗 R に反比例する。公式証明済み電磁気学
クーロンの法則
$F = k\dfrac{|q_1 q_2|}{r^2}$ — 距離 $r$ だけ離れた2つの点電荷 $q_1, q_2$ の間に働く力。ただし $k \approx 9 \times 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$ 。公式証明済み電磁気学
シュレーディンガー方程式
$i\hbar\,\partial_t\psi = \hat{H}\psi = -\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi$ — 量子力学的な波動関数 $\psi$ の時間発展を記述する基本方程式。公式証明済み量子力学
ニュートンの第1法則(慣性の法則)
物体は、力が作用しない限り、あるいは作用する合力が 0 である限り、静止または等速直線運動の状態を保ち続ける。定理証明済みニュートン力学
ニュートンの第2法則(運動方程式)
$\vec{F} = m\vec{a}$ — $\vec{F}$ は物体に働く合力、 $m$ はその慣性質量、 $\vec{a}$ は加速度である。公式証明済みニュートン力学
ニュートンの第3法則(作用・反作用の法則)
物体 A が物体 B に力を及ぼすとき、物体 B も同時に A に対して、大きさが等しく、同じ作用線上にあり、向きが反対の力を及ぼす。定理証明済みニュートン力学
ニュートンの万有引力の法則
$F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$ — 距離 $r$ だけ離れた2つの質点 $m_1, m_2$ の間に働く引力。 $G$ は万有引力定数で $G \approx 6.674 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ 。公式証明済みニュートン力学
ハイゼンベルクの不確定性原理
$\Delta x \, \Delta p \geq \hbar/2$ — 粒子の位置の不確かさと運動量の不確かさの積は、一定の下限 $\hbar/2$ より小さくなることはない。定理証明済み量子力学
ファラデー–レンツの電磁誘導の法則
$\varepsilon = -N\dfrac{d\Phi}{dt}$ — 閉回路に誘導される起電力は、それを貫く磁束 $\Phi$ の時間変化率に比例する（ $N$ は巻き数）。負号（レンツ）は、誘導電流が常にそれを生み出した変化に逆らう向きに流れることを示す。定理証明済み電磁気学
ベルヌーイの式
$p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{定数（流線に沿って）}$ — 定常・非粘性・非圧縮性の流れにおいて成り立つ。公式証明済み流体力学
質量とエネルギーの等価性
E = mc^2 — 物体の静止エネルギー E は、その静止質量 m に光速の2乗を掛けたものに等しい。公式証明済み相対性理論
熱力学第一法則
$\Delta U = Q - A$ — 系の内部エネルギーの変化は、系が吸収した熱量から系が行った仕事を引いたものに等しい。定理証明済み熱物理学
熱力学第二法則
孤立系のエントロピーは時間とともに減少することはない。外部から仕事をしない限り、熱は低温の物体から高温の物体へ自発的には流れない。定理証明済み熱物理学
理想気体の状態方程式
$pV = nRT$ — $p$ は圧力、 $V$ は体積、 $n$ は物質量（モル数）、 $R \approx 8.314\ \text{J/(mol·K)}$ 、 $T$ は絶対温度。公式証明済み熱物理学
両端が固定された弦に定常波が生じる条件
$L = n\lambda/2$ 、 $n = 1, 2, 3, \ldots$ — 安定した定常波が生じるには、弦の長さ L が半波長の整数倍に等しくなければならない。公式証明済み振動と波動