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法則と証明

物理法則・公式・公理：内容、なぜ成り立つのか、そして可能な場合はステップごとの証明。

すべての種類定理公式公理補題予想定義

ニュートンの第2法則

  1. ニュートンの第1法則(慣性の法則)
    物体は、力が作用しない限り、あるいは作用する合力が 0 である限り、静止または等速直線運動の状態を保ち続ける。定理証明済みニュートン力学
  2. ニュートンの第2法則(運動方程式)
    F⃗=ma⃗\vec{F} = m\vec{a} — F⃗\vec{F} は物体に働く合力、mm はその慣性質量、a⃗\vec{a} は加速度である。公式証明済みニュートン力学
  3. ニュートンの第3法則(作用・反作用の法則)
    物体 A が物体 B に力を及ぼすとき、物体 B も同時に A に対して、大きさが等しく、同じ作用線上にあり、向きが反対の力を及ぼす。定理証明済みニュートン力学

重力と重さ

  1. ニュートンの万有引力の法則
    F=Gm1m2r2F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2} — 距離 rr だけ離れた2つの質点 m1,m2m_1, m_2 の間に働く引力。GG は万有引力定数で G≈6.674×10−11 N⋅m2/kg2G \approx 6.674 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2。公式証明済みニュートン力学

光の屈折と屈折率

  1. スネル・デカルトの屈折の法則
    n₁·sin i = n₂·sin r — 屈折率 n₁ から n₂ へ光が進むと境界面で折れ曲がる。i は入射角、r は屈折角(法線から測る)。公式証明済み光学

平面鏡

  1. 反射の法則
    反射角は入射角に等しい(i' = i)。入射光線・反射光線・接点の法線は同一平面内にある。公式証明済み光学

ばね振り子

  1. フックの法則
    F = −k·x — ばねにつながれた物体に働く弾性力は変位 x に比例し、変位と逆向き。ばね定数 k(N/m)が「硬さ」を表す。公式証明済み振動と波動

定常波

  1. 両端が固定された弦に定常波が生じる条件
    L=nλ/2L = n\lambda/2、n=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \ldots — 安定した定常波が生じるには、弦の長さ L が半波長の整数倍に等しくなければならない。公式証明済み振動と波動

アルキメデスの原理

  1. アルキメデスの原理
    FA=ρfluid g VsubmergedF_A = \rho_{\text{fluid}}\, g\, V_{\text{submerged}} — 流体中に浸された物体に働く浮力は、その物体が押しのけた流体の重さに等しい。定理証明済み流体力学

ベルヌーイの式

  1. ベルヌーイの式
    p+12ρv2+ρgh=定数（流線に沿って）p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{定数（流線に沿って）} — 定常・非粘性・非圧縮性の流れにおいて成り立つ。公式証明済み流体力学

液体の圧力と大気圧

  1. パスカルの原理
    密閉流体に加えられた追加圧力は減衰なく流体のすべての点と容器壁に伝わる — 容器の形状に依存しない。定理証明済み流体力学

気体の法則

  1. ゲイ・リュサックの法則
    V/T = 一定(圧力一定)— 一定量の気体の体積は絶対温度 T(ケルビン)に比例する。公式証明済み熱物理学

熱力学第一法則

  1. 熱力学第一法則
    ΔU=Q−A\Delta U = Q - A — 系の内部エネルギーの変化は、系が吸収した熱量から系が行った仕事を引いたものに等しい。定理証明済み熱物理学

熱力学第二法則

  1. 熱力学第二法則
    孤立系のエントロピーは時間とともに減少することはない。外部から仕事をしない限り、熱は低温の物体から高温の物体へ自発的には流れない。定理証明済み熱物理学

理想気体の状態方程式

  1. 理想気体の状態方程式
    pV=nRTpV = nRT — pp は圧力、VV は体積、nn は物質量（モル数）、R≈8.314 J/(mol⋅K)R \approx 8.314\ \text{J/(mol·K)}、TT は絶対温度。公式証明済み熱物理学

黒体放射とプランクの法則

  1. シュテファン・ボルツマンの法則
    M = σ·T⁴ — 理想黒体の単位面積当たりの全放射電力は絶対温度の4乗に比例する。σ = 5.670374×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴。公式証明済み物性物理学

電極と電極電位

  1. ファラデーの電気分解の法則
    m = (A·I·t) / (n·F) — 電極で析出・溶解する物質の質量は流れた電気量 Q = I·t に比例する。A はモル質量、n は価数、F = 96485 C/mol はファラデー定数。公式証明済み物理化学

相対論的運動量とエネルギー、E = mc²

  1. 質量とエネルギーの等価性
    E = mc^2 — 物体の静止エネルギー E は、その静止質量 m に光速の2乗を掛けたものに等しい。公式証明済み相対性理論

中心力場の運動、ケプラー問題

  1. ケプラー第1法則 — 楕円軌道
    各惑星は太陽を焦点の一つとする楕円軌道を描く。太陽は楕円の中心ではなく焦点側にずれている。定理証明済み解析力学
  2. ケプラー第2法則 — 等面積
    太陽と惑星を結ぶ動径は等しい時間に等しい面積を描く — 惑星は近日点で速く、遠日点で遅く動く。定理証明済み解析力学
  3. ケプラー第3法則 — 調和
    軌道周期の二乗 T² は半長軸の三乗 a³ に比例する — 同じ恒星を回るすべての惑星で: T² / a³ = 4π² / (G·M) = 定数 G は万有引力定数、M は恒星の質量。定理証明済み解析力学

シュレーディンガー方程式

  1. シュレーディンガー方程式
    iℏ ∂tψ=H^ψ=−ℏ22m∇2ψ+Vψi\hbar\,\partial_t\psi = \hat{H}\psi = -\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi — 量子力学的な波動関数 ψ\psi の時間発展を記述する基本方程式。公式証明済み量子力学

ハイゼンベルクの不確定性原理

  1. ハイゼンベルクの不確定性原理
    Δx Δp≥ℏ/2\Delta x \, \Delta p \geq \hbar/2 — 粒子の位置の不確かさと運動量の不確かさの積は、一定の下限 ℏ/2\hbar/2 より小さくなることはない。定理証明済み量子力学

回路の一部に対するオームの法則

  1. オームの法則
    I = U/R — 回路のある区間を流れる電流 I は、電圧 U に比例し、抵抗 R に反比例する。公式証明済み電磁気学

磁場と磁気力

  1. ビオ・サバールの法則
    dB = (μ₀/4π) · I·dℓ × r̂ / r² — 電流要素 I·dℓ は距離 r の点に、dℓ と r を含む平面に垂直で 1/r² に減衰する磁場 dB を生む。公式証明済み電磁気学

閉回路に対するオームの法則と起電力

  1. キルヒホッフの法則
    各節点で流入電流の総和は流出電流の総和に等しい(電流則 KCL)。各閉回路で起電力の総和は電圧降下の総和に等しい(電圧則 KVL)。定理証明済み電磁気学

電磁誘導、ファラデー=レンツの法則

  1. ファラデー–レンツの電磁誘導の法則
    ε=−NdΦdt\varepsilon = -N\dfrac{d\Phi}{dt} — 閉回路に誘導される起電力は、それを貫く磁束 Φ\Phi の時間変化率に比例する（NN は巻き数）。負号（レンツ）は、誘導電流が常にそれを生み出した変化に逆らう向きに流れることを示す。定理証明済み電磁気学
  2. レンツの法則
    閉回路に誘導される電流は、それを生じさせた磁束変化に抗する磁場を作る向きに流れる — 数学的にはファラデー則 ε = −dΦ/dt の「−」符号。定理証明済み電磁気学

電荷とクーロンの法則

  1. クーロンの法則
    F=k∣q1q2∣r2F = k\dfrac{|q_1 q_2|}{r^2} — 距離 rr だけ離れた2つの点電荷 q1,q2q_1, q_2 の間に働く力。ただし k≈9×109 N⋅m2/C2k \approx 9 \times 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2。公式証明済み電磁気学