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公式証明済み

ニュートンの万有引力の法則

内容

F=Gm1m2r2F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2} — 距離 rr だけ離れた2つの質点 m1,m2m_1, m_2 の間に働く引力。GG は万有引力定数で G≈6.674×10−11 N⋅m2/kg2G \approx 6.674 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2。

なぜ正しいのか?

質量をもつすべての物体は他のすべての物体を引きつける。力は距離の2乗に反比例して弱まり、数学的には2つの電荷間のクーロン力と同じ形である。

重心のまわりを回る2つの天体:質量と間隔を変えると、1/r² の重力が楕円軌道を形づくる様子が見られる。
証明の概略

ニュートンはこれを、惑星運動に関するケプラーの3つの経験則と自らの第2法則から導いた。半径 r、周期 T の円軌道を仮定すると、必要な向心力は F=mω2r=m(2π/T)2rF = m\omega^2 r = m(2\pi/T)^2 r である。これをケプラーの第3法則(T2∝r3T^2 \propto r^3)と組み合わせると、F∝1/r2F \propto 1/r^2 が得られる。

提示者

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参考文献

  1. Isaac Newton (1687). Principia Mathematica