解析力学
中心力場の運動、ケプラー問題
逆二乗引力場中の軌道を離心率 e の変化とともに調べます。円錐曲線の式 を確かめ、楕円・放物線・双曲線軌道を分類します。
器具
- 離心率スライダー e（0–0.95）付きの中心質量周回軌道モデル
- 軌道の横に描かれるハミルトン–ヤコビ作用面 S(q,t)
- 回転可能なキャンバスとパラメータ表示行
- 運動を止める「一時停止」ボタン
手順
離心率を変えた軌道を観察する
スライダー e を 0 から 0.95 近くまで動かします。e = 0 では軌道は円で、e を増やすと楕円がつぶれ、中心質量は焦点の一つにあります。軌道の形を と比べます。
軌道上の角速度を見る
いくつかの位置で「一時停止」を押し、キャンバスを回してよく見ます。近点では速く、遠点では遅く動きます。これは面積速度の法則 、つまり角運動量保存の表れです。
作用面 S(q,t) と対比する
軌道の横の面 S(q,t) を見ます。q 方向の傾きが運動量 を与えます。e を変えて面がどう変形するか予測し、図で確かめてください。この面は離散化した一例であり、一般的な作用関数ではありません。
シミュレーション
実験の歴史
1576年から1601年にかけて、ティコ・ブラーエは望遠鏡を使わずにそれまでにない精度で惑星位置を測定しました。ティコの火星データを用いて、ヨハネス・ケプラーは『新天文学』（1609年）で第一・第二法則（楕円軌道と面積速度一定）を発表し、『世界の調和』（1619年）で第三法則 を示しました。
1687年、アイザック・ニュートンは『プリンキピア』で三法則すべてが逆二乗引力から導かれることを証明しました。以来この二体問題はケプラー問題と呼ばれます。19世紀の解析力学ではハミルトンとヤコビが作用関数 で再定式化し、量子力学への道を開きました。