Théorie de la relativité

Géométrie différentielle et courbure de l’espace-temps

La métrique encode distances et temps propre ; le tenseur de Riemann décrit la courbure.

ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu

Définition: Grandeur clé

Les composantes des tenseurs dépendent des coordonnées, mais les prédictions physiques sont invariantes. La relation centrale est $ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ .

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Lire l’équation

La métrique encode distances et temps propre ; le tenseur de Riemann décrit la courbure.

Exemple: Limite et interprétation

Dans un champ faible, à basse vitesse et loin de la source, la relativité générale retrouve la description newtonienne appropriée ; cette approximation échoue près d’un horizon ou en champ intense.

Solution

C’est le principe de correspondance : la théorie nouvelle retrouve les résultats éprouvés de l’ancienne dans son domaine de validité.

Exemple: Courbure par déviation géodésique

Dans une petite région, deux particules proches en chute libre, séparées par $\xi^\mu$ , vérifient l’équation de déviation géodésique $D^2\xi^\mu/D\tau^2=-R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}u^\nu\xi^\alpha u^\beta$ . Leur accélération relative dépend du tenseur de Riemann, non des coordonnées.

Solution

Si $R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}=0$ dans la région, il n’existe pas d’accélération de marée intrinsèque. À l’inverse, mesurer les accélérations relatives d’un nuage de particules sonde les composantes de courbure : c’est son sens physique opérationnel.

En coordonnées générales, les symboles de Christoffel $\Gamma^\rho_{\mu\nu}$ décrivent la variation de la base, mais ne sont pas un tenseur et peuvent s’annuler en un point par un choix de coordonnées. Le tenseur de Riemann, construit à partir de dérivées de $\Gamma$ et de termes quadratiques $\Gamma\Gamma$ , ne peut être éliminé là où la courbure est réellement non nulle. Ses contractions donnent le tenseur de Ricci et le scalaire de courbure ; le tenseur d’Einstein $G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\tfrac12Rg_{\mu\nu}$ a une divergence covariante nulle.

Le transport parallèle d’un vecteur le long d’une boucle fermée peut en changer la direction ; la rotation cumulée dépend de la courbure enfermée. Sur une variété plate, le résultat ne dépend pas du chemin ; sur une variété courbe, il mesure l’holonomie. La courbure relève de la métrique et de la connexion locale, non d’un pli dans un espace extérieur.

Vérification rapide

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Références

Sean Carroll (2019). Spacetime and Geometry
Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitation