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Théorie de la relativité

Espace-temps de Minkowski

L’espace et le temps forment un espace-temps à quatre dimensions ; l’intervalle entre événements est invariant sous les transformations de Lorentz.

Un événement est un point d’espace-temps de coordonnées (ct,x,y,z). Les composantes temporelle et spatiales ont des signes opposés : ce n’est pas une distance euclidienne ordinaire.

s2=c2Δt2−Δx2−Δy2−Δz2s^2=c^2\Delta t^2−\Delta x^2−\Delta y^2−\Delta z^2

Définition: Définition

Pour deux événements, s2>0s^2>0 est de genre temps, s2=0s^2=0 de genre lumière et s2<0s^2<0 de genre espace (avec cette convention). Des événements à séparation spatiale ne peuvent être reliés causalement à une vitesse au plus égale à c.

Réglez les paramètres pour observer les résultats en direct ; faites glisser la figure pour tourner la vue.

Sens physique

La ligne d’univers d’un objet massif est à l’intérieur du cône de lumière ; un rayon lumineux est sur sa surface. Le cône délimite les événements pouvant influencer un événement donné ou en subir l’influence.

Exemple: Exemple quantitatif

Pour Δt=5 μs, Δx=900 m et aucune autre séparation spatiale, avec c=300 m/μs, calculez s² et classez l’intervalle.

Solution

s2=(300⋅5)2−9002=1440000s²=(300·5)²−900²=1 440 000 m²>0. La séparation est de genre temps ; il existe un référentiel où les deux événements ont lieu au même endroit.

Chaque observateur inertiel choisit un axe temporel et trois axes spatiaux, mais un boost ne fait que modifier la décomposition de l’espace-temps en ces coordonnées. Le cône de lumière sépare futur, passé et régions inaccessibles aux signaux subluminiques ; cette structure causale est indépendante de l’observateur.

Exemple: Classer une séparation d’espace-temps

Deux événements sont séparés de Δt=4 μs\Delta t=4\,\mu s et de Δx=1,500 m\Delta x=1{,}500\,m selon un axe. Avec c=300 m/μsc=300\,m/\mu s et s2=c2Δt2−Δx2s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2, peuvent-ils être causalement liés ?

Solution

cΔt=1,200 mc\Delta t=1{,}200\,m, donc s2=−810,000 m2<0s^2=-810{,}000\,m^2<0. La séparation est de genre espace ; aucun signal de vitesse inférieure ou égale à cc ne peut relier les événements.

La coordonnée ctct a la dimension d’une longueur et l’intervalle s’écrit ds2=−c2dt2+dx2+dy2+dz2ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2 dans cette signature. Une transformation de Lorentz est une rotation hyperbolique qui conserve cette forme quadratique, comme une rotation euclidienne conserve x2+y2x^2+y^2. Le signe opposé engendre le cône de lumière et distingue les séparations temporelles, spatiales et nulles.

Vérification rapide

Si s²=0 entre deux événements, quel est leur type de séparation ?

Quelle grandeur est invariante sous une transformation de Lorentz ?

Références

  1. Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler (1992). Spacetime Physics
  2. Robert Resnick (1968). Introduction to Special Relativity