Théorie de la relativité

Solution de Schwarzschild et trous noirs

À l’extérieur d’une masse sphérique non rotative, la solution de Schwarzschild prévoit un horizon à son rayon.

r_s=\frac{2GM}{c^2}

Définition: Grandeur clé

Les composantes des tenseurs dépendent des coordonnées, mais les prédictions physiques sont invariantes. La relation centrale est $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ .

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À l’extérieur d’une masse sphérique non rotative, la solution de Schwarzschild prévoit un horizon à son rayon.

Exemple: Limite et interprétation

Dans un champ faible, à basse vitesse et loin de la source, la relativité générale retrouve la description newtonienne appropriée ; cette approximation échoue près d’un horizon ou en champ intense.

Solution

C’est le principe de correspondance : la théorie nouvelle retrouve les résultats éprouvés de l’ancienne dans son domaine de validité.

Exemple: Estimer le rayon de Schwarzschild

Le rayon de Schwarzschild vaut $r_s=2GM/c^2$ . Estimez-le pour le Soleil avec $M_\odot=1.99\times10^{30}\,kg$ , $G=6.67\times10^{-11}\,SI$ et $c=3.00\times10^8\,m/s$ . Pourquoi le Soleil actuel n’est-il pas pour autant un trou noir ?

Solution

$r_s\approx2.95\times10^3\,m$ , soit environ $3\,km$ . Le rayon solaire est proche de $7\times10^8\,m$ , bien supérieur ; un horizon n’apparaît que si la masse est comprimée à l’intérieur de $r_s$ .

En coordonnées de Schwarzschild, les coefficients temporel et radial de la métrique sont $1-r_s/r$ et $(1-r_s/r)^{-1}$ . La singularité de coordonnées à $r=r_s$ n’est pas une courbure divergente : les coordonnées d’Eddington–Finkelstein ou de Kruskal rendent la métrique régulière à travers l’horizon. À ce rayon, même la lumière dirigée vers l’extérieur ne peut s’échapper de l’intérieur. L’horizon est une frontière causale globale, non une surface matérielle. La symétrie sphérique et l’absence de rotation sont essentielles ; un trou noir en rotation relève de la solution de Kerr.

Avec la symétrie sphérique, le théorème de Birkhoff impose un extérieur vide statique de Schwarzschild, même si la distribution intérieure de masse n’est pas uniforme. Il ne décrit ni l’intérieur en effondrement ni un trou noir en rotation. Un observateur lointain voit un décalage gravitationnel vers le rouge et des signaux de plus en plus retardés, tandis qu’un observateur en chute libre franchit l’horizon en temps propre fini.

Vérification rapide

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Références

Sean Carroll (2019). Spacetime and Geometry
Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitation