Théorie de la relativité

Équations de champ d’Einstein

Les équations d’Einstein relient la courbure à l’énergie, à la quantité de mouvement et aux contraintes de la matière.

G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}

Définition: Grandeur clé

Les composantes des tenseurs dépendent des coordonnées, mais les prédictions physiques sont invariantes. La relation centrale est $G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$ .

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Les équations d’Einstein relient la courbure à l’énergie, à la quantité de mouvement et aux contraintes de la matière.

Exemple: Limite et interprétation

Dans un champ faible, à basse vitesse et loin de la source, la relativité générale retrouve la description newtonienne appropriée ; cette approximation échoue près d’un horizon ou en champ intense.

Solution

C’est le principe de correspondance : la théorie nouvelle retrouve les résultats éprouvés de l’ancienne dans son domaine de validité.

Exemple: Vérifier la conservation énergie-impulsion

Le tenseur d’Einstein vérifie l’identité de Bianchi contractée, $\nabla_\mu G^{\mu\nu}=0$ . Appliquez la dérivée covariante à l’équation de champ complète et utilisez $\nabla_\mu g^{\mu\nu}=0$ . Quelle condition en résulte pour le tenseur énergie-impulsion $T^{\mu\nu}$ ?

Solution

Pour une constante cosmologique constante, la divergence du membre gauche est nulle, donc $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ . C’est la conservation locale covariante de l’énergie-impulsion, qui impose la cohérence entre géométrie et sources.

L’équation de champ représente dix équations différentielles non linéaires pour la métrique, contraintes par les identités de Bianchi. Dans le vide avec $\Lambda=0$ , $T_{\mu\nu}=0$ et les équations deviennent $R_{\mu\nu}=0$ , mais le tenseur de Riemann peut rester non nul : champs extérieurs et rayonnement gravitationnel courbent encore l’espace-temps. Il n’existe pas de densité locale d’énergie gravitationnelle tensorielle et invariante analogue à $T_{\mu\nu}$ ; l’énergie se définit souvent par des quantités de bord ou des observables asymptotiques. Les problèmes de données initiales et l’énergie globale sont donc plus subtils qu’en mécanique newtonienne.

La recherche d’une solution exige des conditions aux limites ou des données initiales ainsi qu’un choix de jauge ; de nombreuses composantes métriques ne sont pas des degrés de liberté physiques indépendants. La limite de champ faible autour de l’espace-temps plat donne l’équation de Poisson $\nabla^2\Phi=4\pi G\rho$ , retrouvant la gravitation newtonienne. Les solutions globales peuvent toutefois contenir horizons, singularités ou ondes absents de la théorie linéarisée.

Vérification rapide

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Références

Sean Carroll (2019). Spacetime and Geometry
Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitation