Mécanique analytique

Coordonnées généralisées et degrés de liberté

Les coordonnées généralisées décrivent la configuration d'un système en tenant compte des contraintes ; leur nombre indépendant est le nombre de degrés de liberté.

Un pendule simple ne requiert pas trois coordonnées cartésiennes indépendantes : le fil inextensible et le pivot fixe contraignent la masse à un arc. Son angle $\theta$ suffit. Un bon choix de coordonnées incorpore la contrainte à la description.

Contraintes holonomes

Une contrainte holonome est une relation entre coordonnées, éventuellement dépendante du temps ; pour un pendule plan, $x^2+y^2=l^2$. Une équation contraint deux coordonnées cartésiennes et laisse une coordonnée indépendante. Une contrainte de vitesse généralement non intégrable est non holonome.

Remplacer $x,y$ par un seul angle impose automatiquement la longueur fixe du fil. Dans un système à plusieurs corps, les coordonnées généralisées peuvent aussi être des angles articulaires, des distances ou des variables collectives ; elles ne sont pas nécessairement des longueurs en mètres.

Vérification rapide

On peut voir les configurations permises comme les points d’une variété de configuration. Si les contraintes holonomes s’écrivent $f_a(\mathbf x,t)=0$, la matrice jacobienne $\partial f_a/\partial x_i$ identifie localement les contraintes indépendantes ; son rang donne la dimension locale de la variété. Pour une contrainte dépendant du temps, l’ensemble des configurations permises se déplace lui-même, et les vitesses admissibles vérifient $\sum_i(\partial f_a/\partial x_i)\dot x_i+\partial f_a/\partial t=0$. Angles, longueurs d’arc et coordonnées cartésiennes conviennent dès lors qu’elles déterminent indépendamment la configuration.

Deux particules libres dans l’espace ont six coordonnées ; fixer leur distance impose une contrainte indépendante et laisse cinq degrés de liberté. Des coordonnées de centre de masse, complétées par des coordonnées angulaires et relatives adaptées, rendent cette contrainte explicite.