Mécanique analytique

Principe de moindre action de Hamilton

La trajectoire physique rend l'action S = ∫L dt stationnaire sous de petites variations à extrémités fixes.

La mécanique newtonienne demande quelle force produit une accélération. La mécanique analytique pose une autre question : parmi les chemins reliant les mêmes états initial et final, lequel rend stationnaire une grandeur intégrée dans le temps ? Cette grandeur est l'action.

S[q]=\int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot q,t)\,dt, \qquad \delta S=0

Définition: Action et stationnarité

Pour un système conservatif approprié, le lagrangien vaut $L=T-V$ (énergie cinétique moins énergie potentielle). L'action $S$ s'exprime en J·s. La condition $\delta S=0$ signifie que sa variation au premier ordre s'annule ; elle n'affirme pas que $S$ soit toujours minimale : la trajectoire peut correspondre à un minimum, un maximum ou un point selle.

Faites glisser le milieu du chemin pour modifier la trajectoire. Comparez son action à celle du chemin stationnaire entre les mêmes extrémités.

Du principe à l'équation du mouvement

On fait varier le chemin selon $q(t)\to q(t)+\delta q(t)$ avec $\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0$ . Une intégration par parties du terme en $\delta\dot q$ déplace la dérivée hors de la variation.

\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right)\delta q\,dt=0

Comme $\delta q(t)$ est arbitraire à l'intérieur de l'intervalle, son coefficient doit s'annuler : on obtient l'équation d'Euler-Lagrange. Pour $L=\tfrac12m\dot x^2-V(x)$ , elle devient $m\ddot x=-dV/dx$ , soit la deuxième loi de Newton.

Exemple: Particule libre

Une particule de masse $m$ va de $x=0$ à $x=2$ m en $2$ s sans force. Déterminez sa trajectoire classique.

Solution

Avec $V=0$ , Euler-Lagrange donne $m\ddot x=0$ . La vitesse est constante, donc $x(t)=t$ m lorsque $t$ est exprimé en secondes.

Vérification rapide

La condition de stationnarité se précise en faisant varier une trajectoire selon $q(t)\mapsto q(t)+\epsilon\eta(t)$ avec $\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ . Le développement au premier ordre et une intégration par parties donnent $\delta S=\int_{t_1}^{t_2}[\partial L/\partial q-d(\partial L/\partial\dot q)/dt]\eta(t)\,dt$ . Comme $\eta$ est arbitraire à l’intérieur, le crochet doit s’annuler : l’action stationnaire conduit à l’équation d’Euler–Lagrange. Les extrémités fixes sont essentielles ; si une extrémité est libre, une condition naturelle supplémentaire s’impose.

Quelle condition variationnelle caractérise la trajectoire classique ?

Dans $S=\int Ldt$ , quelle est l'unité de l'action ?

Références

Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko (2002). Classical Mechanics