Mécanique analytique

Équations de Hamilton, espace des phases

La mécanique hamiltonienne décrit la dynamique par des paires coordonnées–impulsions canoniques ; les trajectoires dans l’espace des phases suivent des équations différentielles du premier ordre.

Pour chaque degré de liberté, l’état est représenté par (q,p). Le hamiltonien H(q,p,t) engendre le mouvement par les équations canoniques.

Oscillateur harmonique

Pour H=p²/(2m)+mω²q²/2 indépendant du temps, l’énergie H est conservée. Les trajectoires d’énergie constante sont des ellipses dans le plan (q,p) ; le signe de p fixe le sens du mouvement.

Coordonnées canoniques et transformations canoniques

Un changement de variables $(q,p)\mapsto(Q,P)$ est canonique s’il préserve la structure symplectique ; les équations de Hamilton gardent alors leur forme. Le cisaillement $Q=q,\ P=p+\alpha q$ a un déterminant jacobien égal à 1 et est canonique. Il déforme une courbe de phase tout en préservant l’aire orientée.

Vérification rapide

Pour deux fonctions de l’espace des phases, le crochet de Poisson est $\{F,G\}=\sum_i(\partial F/\partial q_i\,\partial G/\partial p_i-\partial F/\partial p_i\,\partial G/\partial q_i)$. Le long d’une trajectoire hamiltonienne, $dF/dt=\partial F/\partial t+\{F,H\}$. Une grandeur sans dépendance temporelle explicite est donc conservée si son crochet de Poisson avec $H$ s’annule. Cette structure explique aussi pourquoi les transformations canoniques préservent la forme des équations et fournit le cadre classique qui motive la quantification.

Pour l’oscillateur $H=p^2/(2m)+m\omega^2q^2/2$, les équations de Hamilton donnent $\dot q=p/m$ et $\dot p=-m\omega^2q$. L’élimination de $p$ restitue $\ddot q+\omega^2q=0$. Cette paire d’équations du premier ordre décrit le même mouvement que l’équation lagrangienne du second ordre, tout en révélant la structure de l’état dans l’espace des phases.