Mécanique analytique

Équations d'Euler-Lagrange

Les équations d'Euler-Lagrange déduisent le mouvement d'un lagrangien et s'appliquent à chaque coordonnée généralisée.

Un système peut être décrit par des coordonnées adaptées à ses contraintes plutôt que par toutes les coordonnées cartésiennes. Les équations d'Euler-Lagrange déterminent leur évolution lorsque l'action est stationnaire.

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0, \qquad i=1,\ldots,n

Définition: Équation généralisée du mouvement

$q_i$ et $\dot q_i$ désignent la coordonnée et la vitesse généralisées. Si $L=T-V$ ne dépend pas explicitement du temps, l'énergie est généralement conservée. Avec des forces non conservatives, la forme générale est $d(\partial L/\partial\dot q_i)/dt-\partial L/\partial q_i=Q_i^{(nc)}$ .

Explorez l'espace des phases d'un pendule simple. Modifiez sa condition initiale et sa longueur ; la trajectoire suit l'équation de Lagrange.

Exemple : le pendule simple

L=\frac12 ml^2\dot\theta^2-mgl(1-\cos\theta), \qquad \ddot\theta+\frac gl\sin\theta=0

Posons $q=\theta$ . L'énergie cinétique est $T=\tfrac12 ml^2\dot\theta^2$ et le potentiel, nul au point le plus bas, vaut $V=mgl(1-\cos\theta)$ . En substituant $L=T-V$ , on obtient un mouvement non linéaire ; l'approximation $\sin\theta\simeq\theta$ n'est valable qu'aux petits angles.

Exemple: Accélération angulaire initiale

Un pendule de longueur $l=1$ m est lâché sans vitesse à $\theta=0{,}10$ rad. Avec $g=9{,}8$ m/s², calculez son accélération angulaire initiale.

Solution

$\ddot\theta=-(g/l)\sin\theta=-9{,}8\sin(0{,}10)\approx-0{,}98$ rad/s² ; le signe négatif indique une accélération vers l'équilibre.

Vérification rapide

Si $L$ ne dépend pas explicitement d’une coordonnée $q_j$ , celle-ci est cyclique et l’équation d’Euler–Lagrange donne $d p_j/dt=0$ , avec $p_j=\partial L/\partial\dot q_j$ . On extrait ainsi une grandeur conservée avant de résoudre les équations du mouvement. Dans un potentiel central, par exemple, l’angle azimutal n’apparaît pas dans le lagrangien : son moment conjugué est conservé. Un changement de coordonnées valable ne modifie pas la physique, mais il faut transformer de façon cohérente les vitesses et le lagrangien.

En une dimension, $L=\tfrac12m\dot x^2-V(x)$ conduit à $m\ddot x=-dV/dx$ , la deuxième loi de Newton. Cette équivalence fournit un contrôle utile : la méthode lagrangienne ne change pas les prédictions, mais les organise plus efficacement en présence de nombreuses coordonnées et contraintes.

Quelle est la coordonnée généralisée naturelle d'un pendule simple ?

Quand l'approximation $\sin\theta\approx\theta$ est-elle valable ?

Références

Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko (2002). Classical Mechanics