Physique statistique classique
Ensembles statistiques : microcanonique et canonique
Un ensemble statistique est une collection conceptuelle de copies du système servant à décrire les probabilités des microétats sous des contraintes macroscopiques données.
Un ensemble statistique est une collection conceptuelle de copies du système servant à décrire les probabilités des microétats sous des contraintes macroscopiques données.
Définition: Grandeurs et interprétation
L’ensemble microcanonique fixe E,V,N et attribue des probabilités égales dans la fenêtre d’énergie permise. L’ensemble canonique fixe T,V,N, échange de l’énergie avec un bain et utilise les poids de Boltzmann ; β=1/(kBT), Z=Σᵣe⁻ᵝᴱʳ. Un ensemble est un modèle probabiliste pour les moyennes macroscopiques, non des copies simultanées réelles.
Relation quantitative
Exemple: Exemple
Deux états ont E₀=0 et E₁=2kBT dans un ensemble canonique. Calculez P₁/P₀.
Solution
P₁/P₀=e^{−(E₁−E₀)/(kBT)}=e⁻²≈0,135.
Exemple: Exemple : probabilités d’énergie dans l’ensemble canonique
Considérons deux niveaux d’énergie 0 et ε, de dégénérescences g₀=1 et g₁=3. Dans l’ensemble canonique, la probabilité totale du niveau ε tient compte de sa dégénérescence : P₁/P₀=3e^(−βε). Pour ε=2kBT, ce rapport vaut 3e⁻²≈0,406 ; après normalisation, P₁≈0,289 et P₀≈0,711. Plusieurs microétats à énergie plus élevée peuvent donc concurrencer un niveau inférieur. Ludwig Boltzmann a ouvert la voie à l’interprétation probabiliste de la thermodynamique.
Les grandeurs macroscopiques proviennent des moyennes d’ensemble ; par exemple, ⟨E⟩=−∂ln Z/∂β et la variance d’énergie vaut Var(E)=∂²ln Z/∂β²=kBT²C_V. La fonction de partition encode donc la thermodynamique d’équilibre et la réponse aux variations de température. Pour un grand système à interactions de courte portée, les ensembles canonique et microcanonique donnent généralement les mêmes observables locales. Des différences peuvent compter dans les petits systèmes, avec des interactions à longue portée ou près d’une transition du premier ordre, où fluctuations d’énergie et coexistence demandent de l’attention. On peut voir un petit sous-système canonique comme échangeant de l’énergie avec le reste, qui joue le rôle de bain thermique. À la limite thermodynamique, les fluctuations relatives diminuent et les moyennes représentent mieux les mesures. La fonction de partition donne aussi l’énergie libre de Helmholtz, F=−kBT ln Z, reliant probabilités et thermodynamique. L’accord des ensembles ne signifie pas que chaque microétat a la même probabilité. Le choix de l’ensemble doit correspondre aux contraintes expérimentales ; les ensembles sont des modèles, non des copies physiques.
Vérification rapide
Dans l’ensemble canonique, qu’est-ce qui est fixé et que peut échanger le système ?
Dans l’ensemble microcanonique, quelles probabilités attribue-t-on aux états accessibles dans une fenêtre d’énergie étroite ?
Références
- Charles Kittel and Herbert Kroemer (1980). Thermal Physics
- L. D. Landau and E. M. Lifshitz (1980). Statistical Physics