Physique statistique classique

Distribution de Maxwell–Boltzmann

À l’équilibre d’un gaz parfait classique, les vitesses moléculaires suivent la loi de Maxwell–Boltzmann ; la distribution des vitesses inclut aussi le facteur de densité d’états.

f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2}v^2e^{-mv^2/(2k_B T)}

Définition: Grandeurs et interprétation

La distribution du vecteur vitesse tridimensionnel est gaussienne pour chaque composante ; le facteur de coquille sphérique 4πv² donne la densité des vitesses f(v). Les vitesses la plus probable, moyenne et quadratique moyenne sont respectivement √(2kBT/m), √(8kBT/πm) et √(3kBT/m). Le modèle suppose un gaz dilué, l’équilibre thermique et le régime classique.

Phân bố tốc độ và nhiệt độ

Relation quantitative

v_{\rm mp}=\sqrt{2k_BT/m}, \quad v_{\rm rms}=\sqrt{3k_BT/m}

Exemple: Exemple

À température identique, on remplace des molécules de masse m par une masse 4m. Comment varie la vitesse quadratique moyenne ?

Solution

Comme v_rms=√(3kBT/m), multiplier la masse par quatre divise la vitesse quadratique moyenne par deux.

Exemple: Exemple : estimer la vitesse des molécules d’azote

À T=300 K, prenons pour masse d’une molécule N₂ m≈4,65×10⁻²⁶ kg. La vitesse la plus probable vaut v_mp=√(2kBT/m)≈422 m·s⁻¹, tandis que la vitesse quadratique moyenne vaut v_rms=√(3kBT/m)≈517 m·s⁻¹. La distribution étant dissymétrique, sa queue rapide élève la vitesse quadratique moyenne au-dessus de la vitesse la plus probable. Ludwig Boltzmann a contribué au développement de la description statistique des gaz à l’équilibre.

La distribution du vecteur vitesse est une densité de probabilité dans l’espace tridimensionnel des vitesses, tandis que f(v)dv est la probabilité que la vitesse soit comprise entre v et v+dv. Le facteur v² annule la densité des vitesses en v=0, même si chaque composante a son maximum en zéro. Une hausse de température élargit la courbe et déplace son maximum vers les grandes vitesses ; une masse moléculaire accrue à T fixe le déplace vers les petites vitesses. Cette loi classique d’équilibre ne décrit pas la dégénérescence quantique. La fonction f(v) étant normalisée, son aire de zéro à l’infini vaut 1 ; environ Nf(v)dv molécules se trouvent dans un petit intervalle. La vitesse moyenne et la vitesse la plus probable sont des statistiques distinctes. La mesure d’un grand nombre de molécules retrouve cette distribution malgré les collisions qui modifient chaque trajectoire. Les statistiques de vitesse relient le mouvement moléculaire à la pression et au transport thermique mesurables. C’est un fondement de la théorie cinétique.

Vérification rapide

À T fixé, si la masse moléculaire quadruple, comment varie la vitesse quadratique moyenne ?

Quel facteur de la distribution de Maxwell provient de la densité d’états de l’espace des vitesses 3D ?

Références

Charles Kittel and Herbert Kroemer (1980). Thermal Physics
L. D. Landau and E. M. Lifshitz (1980). Statistical Physics