Physique de la matière condensée

Statistique de Fermi–Dirac

La distribution de Fermi–Dirac décrit l’occupation à l’équilibre des fermions soumis à Pauli. À zéro absolu, les états sont remplis jusqu’à l’énergie de Fermi ; à température finie, le bord d’occupation s’adoucit.

Les fermions comme les électrons, protons et neutrons obéissent à Pauli : un état quantique à une particule contient au plus un fermion par état de spin. Leur probabilité d’occupation suit Fermi–Dirac.

Surface de Fermi et matière dégénérée

Dans un métal, les électrons de conduction remplissent les états jusqu’au niveau de Fermi. Seuls ceux situés dans une fenêtre d’énergie de l’ordre de kBT autour de μ sont facilement excités ; de nombreuses propriétés dépendent donc du voisinage de la surface de Fermi.

La température de Fermi T_F=E_F/kB dépasse généralement de beaucoup la température ambiante des métaux : les électrons forment un gaz quantique dégénéré. L’approximation classique de Maxwell–Boltzmann échoue lorsque l’occupation quantique importe.

Vérification rapide

À basse température, le développement de Sommerfeld estime les grandeurs thermodynamiques. Pour une fonction régulière g(ε), l’intégrale des états occupés vaut sa valeur à T=0 plus la correction dominante π²(kBT)²g′(μ)/6. Seuls les électrons dans une fenêtre d’énergie de l’ordre de kBT autour du niveau de Fermi peuvent donc changer d’occupation ; dans les métaux ordinaires, la chaleur spécifique électronique est proportionnelle à T. La densité d’états doit varier lentement à l’échelle kBT.

Si kBT est très inférieur à EF, l’occupation ressemble à un échelon : les états sous μ sont presque pleins et ceux au-dessus presque vides. Le chauffage ne brouille qu’une mince couche d’énergie ; à nombre de particules fixé, μ(T) se déplace légèrement. Pour comparer aux mesures, il faut intégrer g(ε)f(ε), et non lire f à une seule énergie. Cela explique la faible réponse thermique électronique des métaux face à la prédiction classique.