Physique de la matière condensée

Statistique de Bose–Einstein

La distribution de Bose–Einstein donne l’occupation moyenne des états bosoniques à l’équilibre thermique. Les bosons ne subissent pas le principe d’exclusion de Pauli et peuvent partager un état ; une occupation macroscopique de l’état fondamental peut apparaître à densité et température convenables.

À l’équilibre, l’occupation dépend de l’énergie et du potentiel chimique. Pour les bosons, le nombre dans un état n’est pas limité par Pauli ; le dénominateur tend vers zéro lorsque l’énergie approche le potentiel chimique par valeurs supérieures.

Limites de température et condensation

À haute température et faible densité, n̄ᵢ ≪ 1 et la distribution tend vers Maxwell–Boltzmann. Pour un gaz de Bose idéal uniforme en trois dimensions, sous la température critique, les particules excédant la capacité des états excités occupent l’état fondamental : c’est la condensation de Bose–Einstein.

λₜ est la longueur d’onde thermique de de Broglie. Un nλₜ³ d’ordre unité signale le régime quantique collectif ; 2,612 vaut pour le seuil d’un gaz de Bose idéal uniforme en 3D. Interactions et géométrie du piège modifient le détail.

Une approche plus profonde utilise la fugacité $z=e^{\mu/(k_BT)}$ et la grande fonction de partition. Chaque mode a $\mathcal Z_i=(1-ze^{-\beta\epsilon_i})^{-1}$ ; une dérivée par rapport au potentiel chimique donne son occupation moyenne. Lorsque $z$ approche sa valeur maximale admissible, les modes excités ne peuvent plus accueillir de particules à température et densité constantes. Dans un système fini, la transition est arrondie : la condensation désigne une occupation macroscopique de l’état fondamental.

Vérification rapide