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Mécanique quantique

L'équation de Schrödinger

L'équation fondamentale qui décrit comment une fonction d'onde quantique évolue dans le temps — le fondement de toute la mécanique quantique.

L'équation de Schrödinger est l'équation fondamentale de la mécanique quantique, qui joue un rôle analogue à celui de la deuxième loi de Newton en mécanique classique : elle nous dit comment la fonction d'onde ψ\psi d'un système quantique évolue dans le temps.

iℏ∂ψ(x,t)∂t=−ℏ22m∂2ψ(x,t)∂x2+V(x)ψ(x,t)i\hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x)\psi(x,t)

Le membre de gauche décrit l'évolution temporelle de la fonction d'onde. Le membre de droite est l'opérateur hamiltonien H^\hat{H} agissant sur ψ\psi, constitué d'un terme cinétique (la dérivée seconde par rapport à l'espace — plus ψ\psi « ondule », plus l'énergie cinétique est grande) et d'un terme potentiel V(x)V(x). C'est l'équation dépendante du temps ; lorsque le système est dans un état stationnaire (d'énergie EE définie), il existe une version plus simple, indépendante du temps : H^ψ=Eψ\hat H \psi = E\psi.

Définition: La fonction d'onde et son interprétation probabiliste

La fonction d'onde ψ(x,t)\psi(x,t) est un nombre complexe en chaque point de l'espace et n'est pas directement observable. Ce qui est mesurable, c'est ∣ψ(x,t)∣2|\psi(x,t)|^2 — la densité de probabilité de trouver la particule à la position xx à l'instant tt (interprétation de Born, 1926). S'agissant d'une probabilité, ψ\psi doit satisfaire la condition de normalisation ∫∣ψ∣2 dx=1\int |\psi|^2\,dx = 1.

Il s'agit d'une véritable solution numérique de l'équation ci-dessus (méthode de Fourier à pas fractionnés), et non d'une animation illustrative. Essayez le mode « Effet tunnel à travers une barrière » pour voir un effet que seule la mécanique quantique prédit.

L'effet tunnel : quand une particule franchit ce que la physique classique interdit

Considérons une particule d'énergie EE qui approche d'une barrière de hauteur V0>EV_0 > E. Classiquement, elle doit rebrousser chemin : elle n'a pas assez d'énergie pour franchir la barrière. Mais la solution de l'équation de Schrödinger montre que la fonction d'onde ne s'annule pas brutalement à l'intérieur de la barrière ; elle décroît exponentiellement, si bien qu'une petite partie « fuit » de l'autre côté — la particule apparaît au-delà de la barrière avec une probabilité non nulle, alors qu'elle n'a jamais eu assez d'énergie pour passer « par-dessus ».

L'effet tunnel n'est pas une curiosité mathématique : il explique la radioactivité alpha des noyaux, constitue le principe de fonctionnement du microscope à effet tunnel (STM) et est à l'origine du courant de fuite dans les transistors de très petite taille.

Exemple: Pourquoi les objets macroscopiques ne passent pas visiblement par effet tunnel

Si l'effet tunnel est réel, pourquoi ne voit-on jamais, dans la vie quotidienne, une balle qui roule « traverser » un mur ?

Solution

La probabilité de passage par effet tunnel décroît exponentiellement avec la masse de la particule et l'épaisseur de la barrière. Pour une balle (de masse environ 102310^{23} fois celle d'un électron), cette probabilité est si minuscule qu'elle est pratiquement nulle — il faudrait attendre bien plus longtemps que l'âge de l'univers pour l'observer une seule fois. L'effet n'est significatif que pour des particules dont la masse est de l'ordre de celle d'un électron ou d'un proton.

Pour un Hamiltonien indépendant du temps, les solutions séparées sont ψn(r,t)=ϕn(r)e−iEnt/ℏ\psi_n(\mathbf r,t)=\phi_n(\mathbf r)e^{-iE_nt/\hbar}. La densité ∣ψn∣2|\psi_n|^2 est stationnaire malgré la phase variable ; une superposition d'états propres d'énergie produit généralement une densité dépendant du temps. Le Hamiltonien fixe le spectre et ses états propres satisfont les conditions aux limites. Si le potentiel dépend du temps, cette séparation échoue généralement, mais l'équation d'évolution conserve une dynamique unitaire de l'état.

Vérification rapide

En mécanique quantique, la quantité ∣ψ(x,t)∣2|\psi(x,t)|^2 représente :

L'effet tunnel quantique permet à une particule de :

Références

  1. Erwin Schrödinger (1926). Quantisierung als Eigenwertproblem
  2. David J. Griffiths (2018). Introduction to Quantum Mechanics