Mécanique quantique

La particule dans une boîte et l'effet tunnel quantique

Un puits infini possède des niveaux discrets ; sous une barrière finie, la fonction d'onde décroît mais reste non nulle au-delà, ce qui donne une probabilité tunnel.

L'énergie potentielle détermine les régions de mouvement classique autorisé, mais la fonction d'onde de Schrödinger peut pénétrer dans les régions classiquement interdites. Le puits infini illustre la quantification et la barrière finie l'effet tunnel.

E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2},\quad\psi_n(x)=\sqrt{\frac2L}\sin\frac{n\pi x}{L};\qquad T\approx e^{-2\kappa a},\quad\kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}

Définition: Puits infini unidimensionnel

Pour $V=0$ sur $0<x<L$ et $V=\infty$ à l'extérieur, les conditions $\psi(0)=\psi(L)=0$ n'autorisent que $k_n=n\pi/L$ ( $n=1,2,...$ ). L'énergie fondamentale n'est pas nulle : une particule confinée ne peut avoir à la fois une dispersion de position et une impulsion nulles.

Faites varier le niveau

n

pour voir les nœuds de l'onde stationnaire et

E_n∝n²

; passez à une barrière finie pour observer un paquet transmis d'amplitude réduite.

Traversée d'une barrière finie

Pour une barrière rectangulaire de hauteur $V_0$ et de largeur $a$ , avec $E<V_0$ , la solution décroît comme $e^{-\kappa x}$ dans la barrière. La transmission exacte dépend aussi du raccordement aux deux bords ; $T\approx e^{-2\kappa a}$ est une approximation WKB pour une barrière assez épaisse/haute, non une formule exacte universelle.

Exemple: Énergie fondamentale dans une boîte

Un électron est confiné dans une boîte 1D de longueur $L=1.00$ nm. Calculez $E_1$ en eV.

Solution

$E_1=h^2/(8m_eL^2)=6.02\times10^{-20}$ J $=0,376$ eV.

Pour une particule d'énergie $E<V_0$ incidente sur une barrière de hauteur $V_0$ , l'équation de Schrödinger donne une solution évanescente dans la région interdite. Pour une barrière rectangulaire de largeur $a$ , la transmission décroît approximativement comme $T\propto e^{-2\kappa a}$ , avec $\kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$ . Une barrière plus large ou une particule plus massive réduit donc le tunneling. Pour une particule légère et une barrière mince, la probabilité reste finie. Cet effet fonde le microscope à effet tunnel et la désintégration alpha ; il faut distinguer le modèle unidimensionnel idéal de la structure réelle des matériaux.

Vérification rapide

Dans un puits infini 1D, à quoi est proportionnelle l'énergie du niveau $n$ ?

Pour $E<V_0$ , quelle est la forme qualitative de la fonction d'onde dans une barrière rectangulaire ?

Références

David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics