Mécanique quantique

L'atome d'hydrogène : niveaux d'énergie et orbitales

Le potentiel coulombien donne les niveaux de l'hydrogène indexés par $n$ ; les orbitales $|\psi_{nlm}|^2$ sont des densités de probabilité, non des trajectoires planétaires.

L'hydrogène est le premier problème coulombien exactement soluble en mécanique quantique. La séparation de l'équation de Schrödinger en coordonnées sphériques donne des états étiquetés par $n,l,m_l$ . Son spectre simple explique les raies et fonde la structure atomique.

E_n=-\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2},\quad n=1,2,...;\qquad l=0,...,n-1,\quad m_l=-l,...,l

Définition: Nombres quantiques

Le nombre principal $n$ fixe l'énergie et l'échelle caractéristique. Le nombre orbital $l$ fixe le moment cinétique $L^2=l(l+1)\hbar^2$ ; le nombre magnétique $m_l$ donne sa projection $L_z=m_l\hbar$ . Pour chaque $n$ , le modèle non relativiste de l'hydrogène possède $n^2$ états sans compter le spin.

Choisissez 1s, 2s ou 2p pour examiner la distribution spatiale de

|\psi_{nlm}|^2

et ses nœuds ; le nuage représente une probabilité, non une trajectoire.

Raies spectrales et transitions

Dans le modèle coulombien non relativiste, l'énergie dépend seulement de $n$ , donc plusieurs états sont dégénérés. Lors d'une absorption ou émission, l'énergie du photon vaut l'écart $h\nu=|E_f-E_i|$ . La structure fine et les effets externes lèvent partiellement cette dégénérescence idéale.

Exemple: Photon de transition

Un électron passe de $n=3$ à $n=2$ . Calculez l'énergie du photon émis.

Solution

$E_2=-13.6/4=-3,40$ eV et $E_3=-13.6/9=-1,51$ eV. L'émission donne $E_\gamma=E_3-E_2=1,89$ eV.

Le potentiel coulombien est à symétrie sphérique : le problème se sépare en parties radiale et angulaire. Dans le modèle non relativiste, l'énergie dépend du nombre quantique principal $n$ mais reste dégénérée en $l,m$ , qui caractérisent l'échelle d'énergie et le moment cinétique orbital. Le rayon de Bohr $a_0=4\pi\epsilon_0\hbar^2/(m_e e^2)$ fixe l'échelle de longueur, et les niveaux liés valent $E_n=-13.6\,\text{eV}/n^2$ . Une raie apparaît si un photon vérifie $h\nu=E_i-E_f$ . La structure fine et les corrections de QED lèvent des dégénérescences du modèle coulombien élémentaire.

Vérification rapide

Dans l'hydrogène non relativiste, quel nombre quantique détermine directement l'énergie ?

Que représente une orbitale atomique ?

Références

David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics