Mécanique quantique

Le principe d'incertitude de Heisenberg

Les dispersions de position et d'impulsion d'un état ne peuvent être simultanément arbitrairement petites : ΔxΔp ≥ ℏ/2.

Le principe d'incertitude est une limite structurelle des états quantiques, non un défaut d'instrument ou une maladresse de l'observateur. Il concerne la dispersion statistique de mesures répétées sur des systèmes préparés de la même façon.

\Delta x\,\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{2},\qquad \Delta A\,\Delta B\geq\frac12\left|\langle[A,B]\rangle\right|

Définition: Écart-type

Pour une observable $A$ , l'incertitude est son écart-type $\Delta A=\sqrt{\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2}$ . La relation générale fait intervenir le commutateur $[A,B]=AB-BA$ . Comme $[x,p_x]=i\hbar$ , on obtient l'inégalité position–impulsion.

Réglez la largeur du paquet gaussien : une localisation plus étroite en position élargit la distribution de nombre d'onde et d'impulsion, conformément à ΔxΔp ≥ ℏ/2.

Origine mathématique

Pour deux observables quelconques, la relation générale est $\Delta A\Delta B\geq |\langle[A,B]\rangle|/2$ . Des opérateurs qui commutent n'imposent pas de borne positive par cette relation ; position et impulsion ne commutent pas et en imposent une. Un état gaussien à incertitude minimale sature la borne $x,p$ .

Exemple: Longueur d'onde et impulsion

Un paquet d'électrons a $\Delta x=0.10$ nm. Déterminez la valeur minimale possible de $\Delta p_x$ .

Solution

$\Delta p_x\geq\hbar/(2\Delta x)=1.055\times10^{-34}/(2.0\times10^{-10})=5.28\times10^{-25}$ kg·m/s.

Considérons un paquet d'ondes gaussien de largeur standard en position $\sigma_x$ . L'analyse de Fourier montre que le resserrer augmente la dispersion en impulsion ; un état gaussien atteint $\Delta x\Delta p=\hbar/2$ . Une translation peut modifier les moyennes $\langle x\rangle$ et $\langle p\rangle$ sans changer le produit des écarts-types. C'est une propriété de l'état, non un défaut de l'instrument. Plus généralement, pour les opérateurs $A,B$ , l'inégalité de Robertson s'écrit $\Delta A\Delta B\ge |\langle[A,B]\rangle|/2$ .

Vérification rapide

Quelle est la borne inférieure usuelle du produit des incertitudes position–impulsion ?

Que devient généralement la dispersion en impulsion lorsque le paquet est davantage localisé en position ?

Références

David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics