Mécanique quantique

La fonction d'onde et son interprétation probabiliste

La fonction d'onde ψ encode les amplitudes de probabilité ; |ψ|² est la densité de probabilité de position, normalisée pour que la probabilité totale vaille un.

En mécanique quantique, l'état pur d'une particule est décrit par une fonction d'onde complexe $\psi(\mathbf r,t)$ . Ce n'est ni une trajectoire ni une densité matérielle : elle permet de calculer les probabilités des résultats de mesure.

\rho(\mathbf r,t)=|\psi(\mathbf r,t)|^2,\qquad P(\Omega,t)=\int_{\Omega}|\psi(\mathbf r,t)|^2\,d^3r

Définition: Densité de probabilité de Born

$|\psi|^2$ est une probabilité par unité de volume. La probabilité de trouver la particule dans une région $\Omega$ est l'intégrale de cette densité sur la région ; en SI, $|\psi|^2$ s'exprime en m $^{-3}$ .

Observez

|\psi|^2

pour une superposition de deux états d'une boîte. Faites varier l'écart d'énergie pour voir osciller la densité, tout en conservant la normalisation.

Normalisation et mesure

\int_{\mathbb R^3}|\psi(\mathbf r,t)|^2\,d^3r=1

Pour une particule confinée en une dimension, la probabilité de la trouver entre $a$ et $b$ vaut $P=\int_a^b|\psi(x,t)|^2dx$ . La densité peut évoluer, mais l'évolution unitaire d'un système fermé conserve son intégrale sur tout l'espace à un.

Exemple: Probabilité dans la moitié d'une boîte

Dans l'état fondamental d'un puits infini $0<x<L$ , $\psi_1=\sqrt{2/L}\sin(\pi x/L)$ . Quelle est la probabilité de trouver la particule dans la moitié gauche ?

Solution

$P=\int_0^{L/2}(2/L)\sin^2(\pi x/L)dx=1/2$ . La symétrie de $|\psi_1|^2$ autour de $L/2$ conduit au même résultat.

Lors d'une mesure de position, la probabilité de trouver la particule dans $[a,b]$ vaut $P=\int_a^b |\psi(x,t)|^2\,dx$ . Une fonction d'onde normalisée sur toute la droite donne une intégrale égale à un, et les probabilités de régions disjointes s'additionnent. Pour deux chemins indiscernables, les amplitudes complexes interfèrent avant le carré : $|\psi_1+\psi_2|^2$ contient un terme croisé absent d'une simple somme de probabilités. La mesure ne consiste donc pas seulement à lire une distribution classique préexistante ; l'observable choisie fixe les résultats possibles et leurs probabilités. En trois dimensions, on remplace $dx$ par l'élément de volume $d^3r$ .

Vérification rapide

Quelle grandeur donne la densité de probabilité de trouver une particule en $\mathbf r$ ?

Que requiert la normalisation d'une fonction d'onde sur tout l'espace ?

Références

David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics