Mécanique analytique

Mouvement dans un champ central, problème de Kepler

Le problème de Kepler décrit le mouvement dans un potentiel gravitationnel en inverse du carré. La symétrie le réduit à une dynamique radiale et classe les trajectoires en ellipses, paraboles ou hyperboles.

Dans le potentiel central V(r)=−κ/r, le moment cinétique est conservé. L’orbite reste dans un plan et dépend de l’énergie E et du moment cinétique L.

E=\frac{p_r^2}{2\mu}+\frac{L^2}{2\mu r^2}-\frac{\kappa}{r}, \qquad r(\phi)=\frac{p}{1+e\cos\phi}

Définition: Potentiel effectif et orbite

La masse réduite μ se déplace avec le moment cinétique L. Le potentiel effectif $V_{eff}=L^2/(2μr^2)-κ/r$ combine barrière centrifuge et attraction. Pour $E<0$ , l’orbite liée est une ellipse ; $E=0$ donne la parabole limite d’échappement ; $E>0$ donne une hyperbole. On suppose le problème newtonien à deux corps sans perturbation notable.

Faites varier l’excentricité et l’anomalie vraie pour comparer les orbites elliptique, parabolique et hyperbolique. La surface ci-dessous illustre la fonction principale S(q,t) de Hamilton-Jacobi dans un exemple képlérien simplifié.

De Hamilton-Jacobi aux orbites

L’équation de Hamilton-Jacobi $∂S/∂t+H(q,∂S/∂q,t)=0$ détermine l’action principale. Dans un champ képlérien statique, la séparation en coordonnées polaires utilise l’énergie et le moment cinétique comme constantes ; les dérivées de S par rapport à ces constantes donnent le mouvement. La surface S affichée illustre une solution simplifiée, et non une surface universelle commune à toutes les orbites.

Exemple: Exemple

Une orbite képlérienne liée est une ellipse d’excentricité e=0,6 et de demi-grand axe a=10⁷ m, avec le foyer à l’origine. Calculez les distances au périastre et à l’apoastre.

Solution

Pour une ellipse képlérienne, r_min=a(1−e) et r_max=a(1+e). On obtient r_min=4×10⁶ m et r_max=1,6×10⁷ m ; leur somme vaut 2a, conformément à la géométrie.

Vérification rapide

En coordonnées polaires, le potentiel effectif est $V_{\rm eff}(r)=L^2/(2\mu r^2)-\kappa/r$ . Le terme centrifuge crée une barrière lorsque $r\to0$ , tandis que la gravitation attire la particule ; le minimum correspond à une orbite circulaire de rayon $r_0=L^2/(\mu\kappa)$ . Pour une énergie liée $E<0$ , l’orbite est une ellipse de demi-grand axe $a=-\kappa/(2E)$ . Elle est parabolique pour $E=0$ et hyperbolique pour $E>0$ . Ces formules utilisent la masse réduite $\mu$ du problème à deux corps ; le centre fixe en est une approximation limite.

Pour V(r)=−κ/r, quel type d’orbite correspond à une énergie totale E<0 ?

Dans un système autonome, quelle grandeur est conservée au cours du mouvement hamiltonien ?

Références

Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko (2002). Classical Mechanics
L. D. Landau, E. M. Lifshitz (1976). Mechanics