Mécanique analytique

Théorème de Liouville

Le flot hamiltonien conserve le volume dans l’espace des phases. Pour un système intégrable à n degrés de liberté, les niveaux invariants réguliers sont organisés en tores de dimension n.

Les équations de Hamilton définissent un flot incompressible dans l’espace des phases. En coordonnées canoniques, le volume de phase d’un faisceau d’états reste constant.

\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla_{(q,p)}\!\cdot(\rho\,\dot z)=0, \qquad \nabla_{(q,p)}\!\cdot\dot z=0

Définition: Conservation du volume de phase

Pour $z=(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n)$ , le champ hamiltonien est défini par $\dot q_i=\partial H/\partial p_i$ et $\dot p_i=-\partial H/\partial q_i$ . Sa divergence s’annule par paires de dérivées mixtes ; le jacobien du flot vaut donc 1 et le volume de phase est conservé. C’est le théorème de Liouville en mécanique hamiltonienne, et non l’affirmation que toute distribution a une densité uniforme.

Une trajectoire s’enroule sur le tore invariant d’un système intégrable à deux degrés de liberté ; faites varier le rapport des fréquences pour observer une orbite fermée ou une trajectoire qui couvre progressivement le tore.

Lien avec l’intégrabilité

Le théorème de conservation du volume vaut pour tout flot hamiltonien. Le théorème de Liouville-Arnold ajoute qu’un système autonome possédant n intégrales indépendantes en involution et une surface de niveau régulière compacte évolue sur un tore de dimension n ; en variables action-angle, les angles croissent linéairement avec le temps.

Exemple: Exemple

Sur quelle surface un système intégrable à deux degrés de liberté évolue-t-il dans un espace des phases à quatre dimensions, lorsque les intégrales indépendantes sont fixées et le niveau compact ?

Solution

Bonne réponse : un tore de dimension 2. D'après le théorème de Liouville–Arnold, lorsqu'un système intégrable à $n$ degrés de liberté possède un ensemble de niveau compact et régulier $\{F_1=c_1,\dots,F_n=c_n\}$ , cet ensemble est un tore $n$ -dimensionnel $T^n$ — ici $n=2$ , donc l'orbite se trouve sur $T^2$ , et non sur une sphère ni sur une droite.

Vérification rapide

En coordonnées canoniques, la divergence du champ de vitesse dans l’espace des phases vaut $\sum_i(\partial\dot q_i/\partial q_i+\partial\dot p_i/\partial p_i)=\sum_i(\partial^2H/\partial q_i\partial p_i-\partial^2H/\partial p_i\partial q_i)=0$ . Le théorème de la divergence implique qu’un petit volume de phase transporté par le flot hamiltonien conserve son volume. Cela ne signifie ni que les trajectoires sont immobiles ni que la distribution reste uniforme : sa densité peut se déformer tout en étant transportée de façon à préserver le volume de phase. Ce résultat fonde la mécanique statistique d’équilibre et l’équation de Liouville pour la densité de phase.

Pour un système intégrable à deux degrés de liberté dont le niveau est régulier et compact, sur quelle surface le théorème de Liouville-Arnold situe-t-il le mouvement ?

Dans un système autonome, quelle grandeur est conservée au cours du mouvement hamiltonien ?

Références

Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko (2002). Classical Mechanics
L. D. Landau, E. M. Lifshitz (1976). Mechanics