Mécanique analytique

Rotation des solides, gyroscope, angles d’Euler

L’orientation d’un solide libre possède trois degrés de liberté de rotation. Les angles d’Euler sont des coordonnées généralisées de l’orientation ; les moments cinétiques dans les repères lié au solide et spatial ne sont généralement pas parallèles.

La rotation autour d’un axe principal est simple, mais un mouvement général exige de suivre l’orientation du solide. La convention ZXZ des angles d’Euler la décompose en trois rotations successives.

T = \frac12(I_1\omega_1^2+I_2\omega_2^2+I_3\omega_3^2), \qquad \mathbf L_{body}=\mathrm{diag}(I_1,I_2,I_3)\boldsymbol\omega_{body}

Définition: Angles d’Euler et axes principaux

Avec la convention ZXZ, les angles $(φ,θ,ψ)$ correspondent aux rotations successives autour de l’axe z spatial, de l’axe x′ intermédiaire, puis de l’axe z″ lié au solide. Ce sont des coordonnées, non des composantes de vitesse angulaire. L’énergie de rotation s’écrit simplement dans les axes principaux avec $I_1,I_2,I_3$ et les composantes de vitesse angulaire dans le repère du solide.

Une toupie symétrique a son axe incliné ; la trace montre sa précession autour de la verticale. Faites glisser pour tourner la vue et variez la rotation propre et l’inclinaison.

Gyroscopes et précession

Pour une toupie symétrique tournant rapidement, le moment cinétique est presque aligné sur son axe de symétrie. Le couple gravitationnel en change la direction et produit la précession ; dans l’approximation de précession lente, $Ω_p≈τ/L$ si le couple est perpendiculaire à L. Cette formule ne décrit pas toute la nutation.

Exemple: Exemple

Une toupie subit un couple gravitationnel τ=0,020 N·m et possède un moment cinétique L=0,40 kg·m²/s. Estimez sa vitesse de précession lente.

Solution

Avec $Ω_p≈τ/L$ , on trouve $Ω_p≈0,020/0,40=0,050$ rad/s. C’est l’approximation de précession lente, axe presque vertical et moment cinétique dominé par le spin ; elle ne résout pas la nutation.

Vérification rapide

Dans les axes principaux liés au solide, les équations d’Euler comprennent $I_1\dot\omega_1+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3=\tau_1$ et deux équations obtenues par permutation cyclique. Sans couple extérieur, la rotation uniforme autour de l’axe principal de moment d’inertie maximal ou minimal est stable face aux petites perturbations, tandis que celle autour de l’axe intermédiaire est instable. Un gyroscope en rotation rapide soumis à un couple transverse voit la direction de son moment cinétique varier lentement : c’est la précession. Les angles d’Euler ont des singularités de coordonnées pour certaines orientations, sans singularité physique du solide.

Pour une rotation uniforme autour de l’axe principal 3, $\omega_3$ est constante et les deux équations transversales gouvernent les petites perturbations. La stabilité dépend du signe de $(I_3-I_1)(I_3-I_2)$ : les axes de moment d’inertie maximal et minimal donnent des oscillations bornées, tandis que l’axe intermédiaire permet des perturbations croissantes. C’est l’origine de l’effet de la raquette de tennis.

Pour une toupie symétrique en rotation rapide, un couple τ perpendiculaire à L donne une vitesse de précession approximative égale à :

Dans un système autonome, quelle grandeur est conservée au cours du mouvement hamiltonien ?

Références

Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko (2002). Classical Mechanics
L. D. Landau, E. M. Lifshitz (1976). Mechanics