Mécanique analytique

Quantité de mouvement généralisée et hamiltonien

La quantité de mouvement généralisée $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ est conjuguée à la coordonnée $q_i$ ; une transformation de Legendre convertit le lagrangien en hamiltonien $H$.

En mécanique lagrangienne, position et vitesse sont les variables naturelles. La mécanique hamiltonienne remplace la vitesse par la quantité de mouvement généralisée et représente l'état par un point de l'espace des phases $(q,p)$. C'est particulièrement utile pour étudier la structure du mouvement.

Transformation de Legendre

Si l'on peut inverser $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ pour exprimer $\dot q_i$ en fonction de $(q,p,t)$, on remplace ces vitesses dans $H=\sum_i p_i\dot q_i-L$. L'inversibilité locale exige une hessienne des vitesses $\partial^2L/\partial\dot q_i\partial\dot q_j$ non singulière. Les systèmes contraints ou singuliers demandent un traitement distinct.

Pour l'oscillateur harmonique, $p=m\dot q$. En substituant $\dot q=p/m$, on obtient l'hamiltonien ci-dessus. Les courbes de niveau $H=E$ sont des ellipses dans le plan de phase $(q,p)$, parcourues par le mouvement périodique.

Vérification rapide

La transformation de Legendre est inversible seulement si la matrice hessienne $W_{ij}=\partial^2L/(\partial\dot q_i\partial\dot q_j)$ est non singulière. On peut alors exprimer les vitesses en fonction de $(q,p,t)$ et définir l’hamiltonien dans l’espace des phases ; une hessienne singulière signale au contraire des contraintes canoniques à traiter séparément. Une particule chargée dans des potentiels électromagnétiques l’illustre : $L=\tfrac12m\dot{\mathbf r}^{2}+e\mathbf A\cdot\dot{\mathbf r}-e\phi$ donne $\mathbf p=m\dot{\mathbf r}+e\mathbf A$, et non simplement l’impulsion mécanique $m\dot{\mathbf r}$.