Phương trình Euler–Lagrange: con lắc đơn

Con lắc là hệ một bậc tự do. Từ $L=T-V$, phương trình Lagrange cho gia tốc góc phi tuyến; pha $(\\theta, p_\\theta)$ cho thấy trạng thái biến đổi theo thời gian.

1. Con lắc và quỹ đạo pha

Mô hình không ma sát, $\\ddot\\theta=-(g/l)\\sin\\theta$. Kéo canvas để xoay hình chiếu và dùng thanh trượt đặt điều kiện ban đầu.

Góc thả θ₀ Chiều dài l (m)

2. Năng lượng và gần đúng góc nhỏ

Năng lượng $E=\\tfrac12 ml^2\\dot\\theta^2+mgl(1-\\cos\\theta)$ không đổi. Đường elip chỉ xấp xỉ đúng với dao động góc nhỏ.

Màu xanh biểu diễn thế năng; đường màu cam là trạng thái ban đầu, đường xanh lục lam là đường mức cùng năng lượng.