Mécanique analytique

Symétries et théorème de Noether

Chaque symétrie continue de l'action entraîne une loi de conservation : l'invariance par translation temporelle est liée à l'énergie, et celle par translation spatiale à la quantité de mouvement.

Le théorème de Noether relie deux idées apparemment distinctes : les symétries des lois et les grandeurs conservées. Si la description physique reste inchangée sous une transformation continue, les équations du mouvement impliquent une quantité de Noether constante.

\delta L=\frac{dF}{dt} \quad\Longrightarrow\quad Q=\sum_i p_i\,\delta q_i-F=\text{constant}

Définition: Symétrie continue et charge de Noether

Une transformation continue $q_i\to q_i+\epsilon\Delta q_i$ est une symétrie de l'action si le lagrangien ne change que d'une dérivée totale $dF/dt$ au plus. Alors $Q=\sum_i p_i\Delta q_i-F$ est conservée sur les solutions, avec $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ . La forme simple usuelle correspond à $F=0$ .

Faites tourner le repère autour d'un potentiel central : le système reste inchangé et le moment cinétique L se conserve.

Symétries familières

Symétrie continue	Grandeur conservée
Translation temporelle	Énergie
Translation spatiale	Quantité de mouvement
Rotation spatiale	Moment cinétique

Pour une particule dans un potentiel central $V(r)$ , les rotations autour du centre laissent $L=\tfrac12m\dot{\mathbf r}^{2}-V(r)$ inchangé. La symétrie de rotation autour de l'axe $z$ entraîne la conservation de $L_z$ ; dans un potentiel central, tout le vecteur moment cinétique est conservé.

Exemple: D'un angle cyclique au moment cinétique

Une particule de masse $m$ se déplace dans un plan sous un potentiel $V(r)$ . Montrez que son moment cinétique autour de l'axe perpendiculaire est conservé.

Solution

$L=\tfrac12m(\dot r^2+r^2\dot\phi^2)-V(r)$ ne dépend pas explicitement de $\phi$ . Ainsi, par Euler-Lagrange, $p_\phi=\partial L/\partial\dot\phi=mr^2\dot\phi=L_z$ est constant.

Vérification rapide

En général, considérons une transformation continue $q_i\mapsto q_i+\epsilon\Delta q_i$ sous laquelle le lagrangien varie au plus d’une dérivée totale, $\epsilon\,dF/dt$ . Sur une solution des équations du mouvement, $Q=\sum_i p_i\Delta q_i-F$ a une dérivée temporelle nulle. Si la symétrie ne transforme pas le temps et si $F=0$ , on obtient $Q=\sum_i p_i\Delta q_i$ . Une symétrie peut aussi transformer le temps ; un terme d’énergie intervient alors et la forme étendue du théorème est nécessaire.

Une loi de conservation n’exige pas que le lagrangien soit strictement invariant. S’il varie d’une dérivée totale, l’action ne change qu’à la frontière ; avec des extrémités fixes, les équations du mouvement restent inchangées. C’est pourquoi le théorème de Noether couvre davantage que la seule invariance stricte.

Quelle grandeur conservée est associée à l'invariance par translation temporelle ?

Dans un potentiel central, la symétrie de rotation conserve quelle grandeur ?

Références

Cornelius Lanczos (1970). The Variational Principles of Mechanics