Mécanique des fluides

L'équation de Bernoulli

Conservation de l'énergie pour un écoulement stationnaire : partout où un fluide va plus vite, sa pression est plus faible.

L'équation de Bernoulli est la conservation de l'énergie appliquée à l'écoulement stationnaire, non visqueux et incompressible d'un fluide le long d'une ligne de courant. Elle relie la pression, la vitesse et la hauteur du fluide en différents points d'une même ligne de courant.

p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{constant along a streamline}

$p$ est la pression statique, $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ peut être vue comme une « pression dynamique » (liée à l'énergie cinétique du fluide en mouvement) et $\rho g h$ comme une « pression gravitationnelle » (liée à l'énergie potentielle due à la hauteur $h$ ). La somme de ces trois termes est constante le long d'une ligne de courant, si l'on néglige le frottement visqueux.

Rétrécissez le col du tube de Venturi et observez la pression y chuter dès que la vitesse augmente — exactement comme le prédit l'équation de Bernoulli.

Le lien avec l'équation de continuité

L'équation de Bernoulli va généralement de pair avec l'équation de continuité $A_1 v_1 = A_2 v_2$ (conservation du débit, conséquence de la conservation de la masse pour un fluide incompressible) : lorsque la section $A$ du tuyau diminue, la vitesse $v$ doit augmenter pour que le débit reste constant. En combinant les deux pour un tuyau horizontal ( $h$ constant) :

p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 \quad\Rightarrow\quad v_2 > v_1 \implies p_2 < p_1

C'est pourquoi une section plus petite et une vitesse plus élevée signifient une pression plus basse — l'effet utilisé pour mesurer un débit (le tube de Venturi), pour engendrer la portance d'une aile d'avion et pour expliquer pourquoi le rideau d'une voiture est aspiré vers l'extérieur à grande vitesse.

Définition: Ligne de courant

Une ligne de courant est une courbe dont la tangente en chaque point coïncide, à un instant donné, avec la direction de la vitesse du fluide en ce point. En écoulement stationnaire (invariant dans le temps), les lignes de courant coïncident avec les trajectoires réelles des particules de fluide.

Exemple: Pression au col d'un tube de Venturi

De l'eau s'écoule dans un tuyau horizontal dont la section d'entrée est le double de celle du col ( $A_1 = 2A_2$ ). Si la pression d'entrée est $p_1 = 200$ kPa et la vitesse d'entrée $v_1 = 2$ m/s, déterminez la pression au col (ρ = 1000 kg/m³).

Solution

D'après la continuité : $v_2 = v_1 A_1/A_2 = 2 \times 2 = 4$ m/s. D'après Bernoulli : $p_2 = p_1 + \tfrac12\rho(v_1^2 - v_2^2) = 200000 + 0{,}5 \times 1000 \times (4 - 16) = 200000 - 6000 = 194{,}000$ Pa.

Vérification rapide

Exemple: Vitesse de sortie d’un réservoir

Un petit orifice se trouve à $h=1,25,mathrm m$ sous la surface libre. Pour un grand réservoir ouvert à l’atmosphère, la vitesse de surface est négligeable et la pression est atmosphérique aux deux points. Bernoulli donne $v=sqrt{2gh}=sqrt{2(9,8)(1,25)}approx4,95,mathrm{m/s}$ . C’est une estimation idéale : viscosité, contraction à l’orifice et dimensions finies du réservoir réduisent la vitesse réelle.

Dans un tuyau horizontal, si la section se rétrécit, la pression du fluide à cet endroit :

L'équation de Bernoulli est fondamentalement l'application de quelle loi de conservation ?

Références

Daniel Bernoulli (1738). Hydrodynamica
Kundu, Cohen, Dowling (2015). Fluid Mechanics