Mécanique des fluides

Viscosité et nombre de Reynolds

La viscosité décrit le frottement interne d’un fluide ; le nombre de Reynolds compare les effets inertiels et visqueux pour caractériser le régime.

Les fluides réels résistent au cisaillement par leur viscosité. L’écoulement est souvent laminaire à faible Reynolds ; lorsque l’inertie domine, des fluctuations et un mélange turbulent peuvent apparaître.

Re=\frac{\rho vL}{\mu}=\frac{vL}{\nu},\qquad \tau=\mu\frac{\partial u}{\partial y}

Définition: Viscosité dynamique

La viscosité dynamique $\mu$ (Pa·s) relie la contrainte de cisaillement au gradient de vitesse ; la viscosité cinématique vaut $\nu=\mu/\rho$ (m²/s). $L$ et $v$ sont longueur et vitesse caractéristiques.

Faites varier le nombre de Reynolds pour observer qualitativement le régime ; le profil parabolique représente l’écoulement laminaire de Poiseuille dans un tube circulaire.

Régimes en conduite

Dans une conduite circulaire droite, un faible $Re$ favorise généralement l’écoulement laminaire. La transition dépend des perturbations et de l’entrée ; $Re\approx2300$ est un repère usuel, pas un seuil universel exact. À grand $Re$ , l’inertie entretient fluctuations et mélange turbulent.

Profil de Poiseuille

u(r)=\frac{\Delta p}{4\mu\ell}(R^2-r^2),\qquad Q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\mu\ell}

Un écoulement laminaire pleinement développé d’un liquide newtonien dans un tube circulaire a un profil parabolique : vitesse nulle à la paroi (adhérence) et maximale sur l’axe. La formule de Poiseuille suppose un régime laminaire et une conduite adaptée.

Exemple: Estimation de Reynolds

De l’eau ( $\rho=1000\,\mathrm{kg/m^3}$ , $\mu=0,001\,\mathrm{Pa\,s}$ ) circule à $v=0,20\,\mathrm{m/s}$ dans une conduite de diamètre $D=0,010\,\mathrm m$ . Calculez $Re$ .

Solution

$Re=\rho vD/\mu=1000(0,20)(0,010)/0,001=2000$ . Il s’agit souvent d’un régime laminaire dans une conduite lisse, mais la transition dépend aussi des perturbations.

Vérification rapide

Exemple: Estimer le nombre de Reynolds dans un tuyau

De l’eau de masse volumique $ho=1000,mathrm{kg/m^3}$ et de viscosité dynamique $mu=1,0 imes10^{-3},mathrm{Pa,s}$ s’écoule dans un tuyau de diamètre $D=0,020,mathrm m$ à la vitesse moyenne $v=0,10,mathrm{m/s}$ . On obtient $Re= ho vD/mu=2000$ . Cette valeur approche la zone de transition souvent observée dans un tube circulaire : les perturbations d’entrée et la rugosité peuvent décider si l’écoulement reste laminaire ou devient instable. Un seuil unique n’est pas une frontière absolue.

Si $Re$ augmente avec la vitesse, quel effet devient relativement plus important ?

Où la vitesse est-elle maximale dans l’écoulement laminaire de Poiseuille ?

Références

Frank M. White (2016). Fluid Mechanics