Mécanique des fluides

Équations de Navier–Stokes

Les équations de Navier–Stokes décrivent le bilan de quantité de mouvement d’un fluide visqueux, en combinant inertie, pression, forces volumiques et contraintes visqueuses.

Navier–Stokes applique la deuxième loi de Newton aux éléments fluides. La forme dépend du modèle constitutif et des hypothèses ; voici la forme différentielle pour un fluide newtonien homogène, incompressible et de viscosité constante.

\rho\left(\frac{\partial\mathbf u}{\partial t}+(\mathbf u\cdot\nabla)\mathbf u\right)=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf u+\rho\mathbf f,\qquad\nabla\cdot\mathbf u=0

Définition: Termes de quantité de mouvement

$\rho$ désigne la masse volumique, $\mathbf u$ la vitesse, $p$ la pression, $\mu$ la viscosité dynamique et $\mathbf f$ la force volumique par unité de masse. Le membre gauche est l’accélération locale et convective ; le membre droit rassemble gradient de pression, diffusion visqueuse et force volumique.

Étudiez le profil de Couette entre deux plaques et l’effet de la viscosité ; il s’agit d’une solution laminaire simple, non d’une solution générale de Navier–Stokes.

Bilan de quantité de mouvement

L’accélération matérielle combine la variation locale $\partial_t\mathbf u$ et l’advection $(\mathbf u\cdot\nabla)\mathbf u$ . À faible $Re$ , la viscosité lisse les gradients de vitesse ; à grand $Re$ , advection et inertie prennent de l’importance, ce qui complique souvent la prévision.

Solution de référence : écoulement de Couette

u_x(y)=U\frac{y}{H},\qquad 0\le y\le H

Entre deux plaques parallèles séparées de $H$ , la plaque inférieure étant immobile et la supérieure se déplaçant à $U$ , un fluide newtonien sans gradient de pression longitudinal présente un profil laminaire permanent linéaire. L’adhérence impose à la vitesse du fluide celle de chaque plaque.

Exemple: Vitesse de Couette dans l’entrefer

Deux plaques sont séparées de $H=2,0\,\mathrm{mm}$ ; la plaque supérieure se déplace à $U=0,10\,\mathrm{m/s}$ . Calculez la vitesse au milieu pour l’écoulement de Couette.

Solution

$u(H/2)=U(H/2)/H=U/2=0,050\,\mathrm{m/s}$ .

Vérification rapide

Chaque terme a un sens physique et s’exprime en force par unité de volume : $ho Dmathbf u/Dt$ représente l’inertie, $- abla p$ la force de pression, $mu abla^2mathbf u$ la diffusion visqueuse de quantité de mouvement, et $homathbf f$ la force volumique. Pour un fluide incompressible, il faut aussi imposer $ablacdotmathbf u=0$ ; sans conditions aux limites, par exemple l’adhérence à une paroi, la solution n’est pas déterminée.

Quel modèle de fluide sous-tend l’équation incompressible présentée ?

Quelle est la vitesse de Couette au milieu de l’entrefer de l’exemple ?

Références

Frank M. White (2016). Fluid Mechanics
G. K. Batchelor (1967). An Introduction to Fluid Dynamics