Mécanique des fluides

Écoulement turbulent et allée de von Kármán

La turbulence présente des fluctuations de vitesse et un mélange intense ; un écoulement autour d’un cylindre peut émettre des tourbillons alternés en aval.

La turbulence est un mouvement instationnaire avec des fluctuations de vitesse à plusieurs échelles. Autour d’un cylindre, la couche limite peut se séparer et émettre des tourbillons alternés dans le sillage.

Re=\frac{\rho UD}{\mu},\qquad St=\frac{fD}{U}

Définition: Allée de Kármán et nombre de Strouhal

Une allée est une succession de tourbillons alternés de signes opposés dans un sillage. Pour un cylindre et certains régimes de Reynolds, $St=fD/U$ relie la fréquence d’émission $f$ , le diamètre $D$ et la vitesse amont $U$ . Une valeur proche de 0,2 est une approximation conditionnelle, non universelle.

Faites varier la vitesse et observez qualitativement le sillage tourbillonnaire derrière le cylindre ; ce modèle ne résout pas Navier–Stokes numériquement.

Décollement de la couche limite

L’adhérence ralentit le fluide près de la paroi. Un gradient de pression défavorable peut décoller la couche limite du cylindre ; les couches de cisaillement s’enroulent en tourbillons alternés. Le sillage dépend du nombre de Reynolds, de la géométrie, des perturbations et de l’écoulement incident.

Forces fluctuantes et résonance

L’émission alternée fait fluctuer la pression et la force transversale. Si la fréquence d’excitation approche une fréquence propre, la résonance peut amplifier les vibrations ; les ingénieurs prennent en compte le sillage pour concevoir piles, câbles et cheminées.

Exemple: Fréquence d’émission des tourbillons

De l’air à $U=10\,\mathrm{m/s}$ passe autour d’un cylindre de diamètre $D=0,10\,\mathrm m$ . Avec $St=0,20$ dans le régime approprié, estimez $f$ .

Solution

$f=StU/D=0,20(10)/0,10=20\,\mathrm{Hz}$ . La valeur réelle dépend du régime de Reynolds et des conditions.

Vérification rapide

Exemple: Fréquence de détachement tourbillonnaire derrière un cylindre

Dans une certaine plage de nombres de Reynolds, le nombre de Strouhal $St=fD/U$ est presque constant ; pour un cylindre circulaire dans le régime approprié, sa valeur typique est d’environ $0,2$ . Avec $U=10,mathrm{m/s}$ et un diamètre $D=0,50,mathrm m$ , on estime $fapprox St,U/D=4,mathrm{Hz}$ . Cette approximation n’est valable que dans le régime adapté ; la fréquence réelle dépend du nombre de Reynolds, de la forme, de la turbulence incidente et des conditions aux limites.

Le nombre de Strouhal est défini par :

Dans une allée de Kármán, les tourbillons sont généralement :

Références

G. K. Batchelor (1967). An Introduction to Fluid Dynamics