Mécanique des fluides

Équation de continuité

La conservation de la masse égalise le débit massique dans toute section d’un écoulement permanent.

Dans un écoulement permanent, le fluide ne s’accumule pas dans un tronçon : le débit massique entrant égale le débit sortant. Pour un liquide incompressible, une conduite plus étroite implique une vitesse moyenne plus élevée.

\dot m=\rho Av=\text{constant},\qquad A_1v_1=A_2v_2\quad(\rho=\text{constant})

Définition: Débit

Le débit volumique $Q=Av$ s’exprime en m³/s ; le débit massique $\dot m=\rho Av$ en kg/s. $v$ est la vitesse moyenne normale à la section. La forme générale convient aussi aux fluides compressibles de masse volumique variable.

Observez des marqueurs plus rapides et rapprochés dans le rétrécissement, tandis que le débit reste constant.

Conduite convergente

À masse volumique constante, $Q=Av$ se conserve. Si le rayon de la conduite est divisé par deux, sa section est divisée par quatre et la vitesse moyenne quadruple. Des lignes de courant resserrées indiquent une vitesse plus élevée, non un débit plus grand.

Écoulement compressible

Pour un gaz compressible, la masse volumique peut varier le long du conduit ; la relation correcte est alors $\rho Av=\mathrm{constant}$ . La forme simplifiée $Av=\mathrm{constant}$ ne vaut que si la masse volumique est constante.

Exemple: Vitesse dans une buse

De l’eau circule à 0,50 m/s dans une conduite de 4 cm de diamètre, puis entre dans une buse de 2 cm. Calculez sa vitesse moyenne dans la buse.

Solution

$A_1/A_2=(4/2)^2=4$ , donc $v_2=v_1A_1/A_2=2,0\,\mathrm{m/s}$ .

Vérification rapide

Exemple: Débit dans une tuyère convergente

L’eau passe d’un tuyau de diamètre $4,0,mathrm{cm}$ à une tuyère de diamètre $2,0,mathrm{cm}$ . L’aire étant proportionnelle au carré du diamètre, $A_2=A_1/4$ . Pour une vitesse moyenne initiale de $0,50,mathrm{m/s}$ , la conservation du débit volumique donne $v_2=(A_1/A_2)v_1=2,0,mathrm{m/s}$ . Le débit reste $Q=A_1v_1=A_2v_2$ : la vitesse augmente parce que la section diminue, non parce que du fluide est créé.

Le rayon d’une conduite circulaire incompressible est divisé par deux. Comment la vitesse moyenne doit-elle varier pour conserver le débit ?

Quelle grandeur se conserve dans un écoulement gazeux compressible permanent ?

Références

Frank M. White (2016). Fluid Mechanics