Théorie de la relativité

Dilatation du temps et contraction des longueurs

Une horloge en mouvement mesure moins de temps entre deux rencontres ; un objet en mouvement se contracte dans la direction de son mouvement.

Le temps propre Δτ est mesuré dans le référentiel où les deux événements ont lieu au même endroit, par exemple celui de l’horloge. Un observateur voyant l’horloge en mouvement mesure Δt=γΔτ.

\Delta t=γ\Delta\tau,\qquad L=\frac{L_0}{γ},\qquad γ=\frac{1}{\sqrt{1−v^2/c^2}}

Définition: Définition

Le temps propre Δτ est mesuré par une horloge accompagnant les événements ; la longueur propre $L_0$ se mesure dans le référentiel de repos de l’objet. Δt et L sont mesurés là où l’horloge ou l’objet est en mouvement.

Réglez les paramètres pour observer les résultats en direct ; faites glisser la figure pour tourner la vue.

Sens physique

La contraction ne concerne que la direction du mouvement ; les dimensions transversales restent inchangées. Les extrémités doivent être mesurées simultanément dans un même référentiel.

Exemple: Exemple quantitatif

Une horloge se déplace à 0,8c et mesure Δτ=10 s. Une barre de longueur propre L₀=5 m se déplace à la même vitesse. Calculez Δt et L.

Solution

γ=5/3 ; Δt≈16,7 s et L=3,0 m.

Exemple: Une horloge et une barre en mouvement

Une horloge de période propre $1.0\,s$ se déplace à $v=0.6c$ par rapport au laboratoire. Quelle période celui-ci mesure-t-il ? Quelle longueur mesure-t-il pour une barre de longueur propre $10\,m$ se déplaçant à la même vitesse ?

Solution

$γ=1.25$ . Le laboratoire mesure une période de $1.25\,s$ et une longueur parallèle au mouvement $L=L_0/γ=8.0\,m$ . L’intervalle de temps se dilate tandis que la longueur longitudinale se contracte.

Pour mesurer la longueur d’un objet mobile, il faut relever simultanément ses deux extrémités dans le référentiel de mesure ; des relevés à des instants différents ne définissent pas sa longueur dans ce référentiel. La longueur propre $L_0$ est mesurée au repos de l’objet, tandis que $L=L_0/γ$ est mesurée lorsqu’il bouge. Une horloge mesure le temps propre le long de sa ligne d’univers ; le temps du laboratoire repose sur des horloges synchronisées réparties dans le référentiel. Distinguer ces procédures évite les paradoxes apparents.

Les deux effets sont vérifiés : les horloges atomiques d’avions et de satellites diffèrent des horloges au sol, tandis que les muons atmosphériques vivent plus longtemps dans le référentiel terrestre par dilatation du temps.

Vérification rapide

Une barre de longueur propre L₀=6 m se déplace avec γ=2. Quelle longueur mesure-t-on dans sa direction ?

Quelle grandeur est invariante sous une transformation de Lorentz ?

Références

Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler (1992). Spacetime Physics
Robert Resnick (1968). Introduction to Special Relativity