Théorie de la relativité

Le paradoxe des jumeaux

Après un aller-retour, le voyageur peut être plus jeune que le jumeau resté sur Terre : leurs lignes d’univers diffèrent et le voyageur change de référentiel au demi-tour.

Modélisons le voyageur à la vitesse v sur une distance D, avec demi-tour puis retour à la même vitesse. Le temps terrestre vaut 2D/v ; le voyageur accumule moins de temps propre sur les deux trajets.

\Delta t_{\mathrm{Terre}}=\frac{2D}{v},\qquad \Delta\tau_{\mathrm{voyageur}}=\frac{2D}{v}\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}

Définition: Définition

Le temps propre s’accumule le long de chaque ligne d’univers. Le jumeau terrestre reste approximativement inertiel ; le voyageur accélère et change de référentiel au demi-tour, donc la situation n’est pas symétrique.

Réglez les paramètres pour observer les résultats en direct ; faites glisser la figure pour tourner la vue.

Sens physique

L’accélération peut être brève. L’essentiel n’est pas de demander simplement « qui bouge », mais de comparer les intégrales du temps propre sur les deux lignes d’univers. Le demi-tour instantané est une idéalisation.

Exemple: Exemple quantitatif

Un voyageur atteint à 0,8c un point situé à 4 années-lumière puis revient immédiatement. Combien de temps s’écoule sur Terre et pour lui ?

Solution

Sur Terre : 10 ans. Comme γ=5/3, le voyageur subit 6 ans, en négligeant la durée du demi-tour.

Exemple: Temps propre d’un aller-retour

Un astronaute se rend à $0.8c$ vers une étoile située à $4$ années-lumière, fait rapidement demi-tour et revient. Négligez la durée d’accélération et comparez les temps écoulés.

Solution

La Terre mesure $2(4)/0.8=10$ ans. Comme $γ=5/3$ , le temps propre total du voyageur vaut $10/γ=6$ ans. Les lignes d’univers reliant les mêmes retrouvailles ont des longueurs propres différentes.

Le temps accumulé entre deux retrouvailles est la longueur de la ligne d’univers dans la métrique lorentzienne : dans le référentiel terrestre, $\tau=\int\sqrt{1-v^2/c^2}\,dt$ . Entre les mêmes événements de réunion, le jumeau resté sur place suit presque une trajectoire inertielle, tandis que le voyageur change de référentiel au demi-tour. Même bref, ce demi-tour rompt la symétrie ; la comparaison décisive est l’intégrale du temps propre sur chaque ligne complète.

Négliger la durée d’accélération simplifie seulement le calcul ; l’écart d’âge dépend des lignes d’univers complètes, non d’un demi-tour instantané.

Vérification rapide

Dans le modèle aller-retour, qui change de référentiel inertiel au demi-tour ?

Quelle grandeur est invariante sous une transformation de Lorentz ?

Références

Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler (1992). Spacetime Physics
Robert Resnick (1968). Introduction to Special Relativity