Théorie de la relativité

Postulats d’Einstein et transformation de Lorentz

Les deux postulats d’Einstein conduisent aux transformations de Lorentz : les lois physiques sont identiques dans tout référentiel inertiel et la lumière dans le vide a la même vitesse c.

Supposons que S′ se déplace vers +x à la vitesse v par rapport à S. Pour préserver la vitesse de la lumière dans le vide, la transformation mélange espace et temps : les deux référentiels attribuent généralement des coordonnées différentes à un même événement.

x′=γ(x−vt),\quad t′=γ\left(t−\frac{vx}{c^2}\right),\quad y′=y,\ z′=z,\quad γ=\frac{1}{\sqrt{1−v^2/c^2}}

Définition: Définition

Le facteur $γ=(1−v^2/c^2)^{-1/2}$ mesure l’importance des effets relativistes. La transformation inverse remplace v par −v. Ces relations supposent des référentiels inertiels aux axes parallèles, en mouvement uniforme selon x.

Réglez les paramètres pour observer les résultats en direct ; faites glisser la figure pour tourner la vue.

Sens physique

Un signal lumineux vérifiant x=ct vérifie aussi x′=ct′ après transformation : sa vitesse reste c. Pour v≪c, γ≈1 et on retrouve la cinématique galiléenne.

Exemple: Exemple quantitatif

Dans S, un événement a x=300 000 km et t=2,0 s. Pour v=0,6c, calculez ses coordonnées dans S′.

Solution

γ=1,25 et c=300 000 km/s, donc x′=−75 000 km et t′=1,75 s.

Les transformations de Lorentz forment une structure de groupe : deux boosts colinéaires se composent en un boost de vitesse $u=(v+w)/(1+vw/c^2)$ . Le dénominateur empêche de dépasser $c$ ; pour $v,w\ll c$ , on retrouve l’addition galiléenne.

Exemple: Composition relativiste des vitesses

Un vaisseau se déplace à $0.8c$ par rapport à la Terre et lance vers l’avant une sonde à $0.7c$ par rapport au vaisseau. Calculez la vitesse de la sonde par rapport à la Terre avec la loi de composition de Lorentz.

Solution

$u=1.5c/1.56\approx0.962c$ . Le résultat reste inférieur à $c$ , conformément à l’invariance de la vitesse de la lumière.

Les postulats déterminent aussi la simultanéité : deux éclairs aux extrémités d’un quai, simultanés dans son référentiel, ne le sont pas nécessairement dans celui d’un train qui passe. Le terme $-vx/c^2$ de la transformation temporelle encode cette relativité. Il n’existe pas de temps universel partagé par tous les observateurs inertiels ; les transformations préservent la causalité, sans rendre identiques toutes les mesures temporelles.

Vérification rapide

Pour v=0,6c, quelle est la valeur du facteur de Lorentz γ ?

Quelle grandeur est invariante sous une transformation de Lorentz ?

Références

Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler (1992). Spacetime Physics
Robert Resnick (1968). Introduction to Special Relativity