解析力学

一般化座標と自由度

一般化座標は拘束を考慮した系の配置を表し、独立な座標の数が自由度です。

単振り子を記述するのに独立なデカルト座標を三つ使う必要はありません。伸びない糸と固定された支点により、おもりは円弧上を動きます。角度 $\theta$ だけで十分であり、適切な座標を選べば拘束を記述に組み込めます。

ホロノミック拘束

ホロノミック拘束は座標（場合によっては時間）間の方程式で表されます。平面振り子なら $x^2+y^2=l^2$ です。一つの式が二つのデカルト座標を拘束するため、独立座標は一つ残ります。一般に積分できない速度拘束は非ホロノミックです。

$x,y$ を一つの角度で置き換えると、糸の長さ一定が自動的に満たされます。多体系では関節角、距離、集団変数なども一般化座標になり、メートル単位の幾何学的長さとは限りません。

クイックチェック

許される配置を配置多様体上の点とみなします。ホロノミック拘束が $f_a(\mathbf x,t)=0$ なら、ヤコビ行列 $\partial f_a/\partial x_i$ は局所的に独立な拘束を識別し、その階数が多様体の局所次元を定めます。時間依存拘束では許される配置集合自体が動くため、許容速度は $\sum_i(\partial f_a/\partial x_i)\dot x_i+\partial f_a/\partial t=0$ を満たします。配置を独立に指定できれば、角度、弧長、デカルト座標はいずれも有効な選択です。

空間中の自由な二粒子は6座標を持ち、距離を一定にする独立拘束を一つ課すと自由度は5です。重心座標と適切な角度・相対座標を選ぶと、その拘束を明示しやすくなります。