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解析力学

オイラー＝ラグランジュ方程式

オイラー＝ラグランジュ方程式はラグランジアンから運動を導き、各一般化座標に適用されます。

系はすべてのデカルト座標ではなく、拘束に適した座標で記述できます。作用が停留するとき、それらの座標がどう変化するかをオイラー＝ラグランジュ方程式が示します。

ddt∂L∂q˙i−∂L∂qi=0,i=1,…,n\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0, \qquad i=1,\ldots,n

定義: 一般化運動方程式

qiq_i と q˙i\dot q_i は一般化座標と速度です。L=T−VL=T-V が時間に陽に依存しなければ、通常エネルギーは保存します。非保存力がある場合、一般形は d(∂L/∂q˙i)/dt−∂L/∂qi=Qi(nc)d(\partial L/\partial\dot q_i)/dt-\partial L/\partial q_i=Q_i^{(nc)} です。

単振り子の位相空間を観察します。初期条件と長さを変え、ラグランジュ方程式に従う軌道を見ます。

例：単振り子

L=12ml2θ˙2−mgl(1−cos⁡θ),θ¨+glsin⁡θ=0L=\frac12 ml^2\dot\theta^2-mgl(1-\cos\theta), \qquad \ddot\theta+\frac gl\sin\theta=0

q=θq=\theta とします。運動エネルギーは T=12ml2θ˙2T=\tfrac12 ml^2\dot\theta^2、最下点を基準にしたポテンシャルは V=mgl(1−cos⁡θ)V=mgl(1-\cos\theta) です。L=T−VL=T-V を代入すると非線形運動が得られ、小角の場合に限り sin⁡θ≃θ\sin\theta\simeq\theta と近似できます。

例: 初期角加速度

長さ l=1l=1 m の振り子を θ=0.10\theta=0.10 rad から静かに放します。g=9.8g=9.8 m/s² として初期角加速度を求めなさい。

解答

θ¨=−(g/l)sin⁡θ=−9.8sin⁡(0.10)≈−0.98\ddot\theta=-(g/l)\sin\theta=-9.8\sin(0.10)\approx-0.98 rad/s² です。負号は平衡位置へ戻る向きを示します。

クイックチェック

LL が座標 qjq_j に陽に依存しない場合、その座標は循環座標であり、オイラー＝ラグランジュ方程式から pj=∂L/∂q˙jp_j=\partial L/\partial\dot q_j に対して dpj/dt=0d p_j/dt=0 が得られます。これは運動方程式を解く前に保存量を取り出す方法です。たとえば中心力場では方位角がラグランジアンに現れないため、共役角運動量が保存されます。正当な座標変換は物理を変えませんが、速度とラグランジアンの両方を一貫して変換する必要があります。

一次元で L=12mx˙2−V(x)L=\tfrac12m\dot x^2-V(x) とすると、方程式は mx¨=−dV/dxm\ddot x=-dV/dx となり、ニュートンの運動方程式に一致します。この同値性は有用な確認方法です。ラグランジュ法は予測を変えるのではなく、多数の座標や拘束がある場合に記述を効率化します。

単振り子の自然な一般化座標は何ですか。

近似 sin⁡θ≈θ\sin\theta\approx\theta が成り立つのはいつですか。

参考文献

  1. Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko (2002). Classical Mechanics