解析力学

ハミルトンの正準方程式、位相空間

ハミルトン力学は正準座標と運動量の組で力学を記述し、位相空間の軌道は1階の微分方程式に従います。

各自由度の状態は(q,p)で表されます。ハミルトニアンH(q,p,t)が正準方程式を通じて運動を定めます。

調和振動子

時間に陽に依存しないH=p²/(2m)+mω²q²/2ではエネルギーHが保存されます。等エネルギー軌道は(q,p)平面の楕円で、pの符号が各点での進行方向を定めます。

正準座標と正準変換

変数変換$(q,p)\mapsto(Q,P)$がシンプレクティック構造を保てば正準変換であり、新変数でもハミルトン方程式は同じ形を保ちます。例えばshear変換$Q=q,\ P=p+\alpha q$はヤコビアンの行列式が1で正準変換です。位相曲線の形を変えますが、有向面積を保存します。

クイックチェック

位相空間上の二つの関数に対し、ポアソン括弧を $\{F,G\}=\sum_i(\partial F/\partial q_i\,\partial G/\partial p_i-\partial F/\partial p_i\,\partial G/\partial q_i)$ と定義します。ハミルトン軌道に沿って $dF/dt=\partial F/\partial t+\{F,H\}$ です。したがって、時間に陽に依存しない量は $H$ とのポアソン括弧がゼロなら保存されます。この構造は正準変換が方程式の形を保つ理由を示し、量子化を動機づける古典的枠組みでもあります。

$H=p^2/(2m)+m\omega^2q^2/2$ の振動子では、ハミルトン方程式は $\dot q=p/m$ と $\dot p=-m\omega^2q$ を与えます。$p$ を消去すると $\ddot q+\omega^2q=0$ が得られます。この二つの一階方程式は二階のラグランジュ方程式と同じ運動を記述しつつ、位相空間の状態構造を明らかにします。