解析力学

ハミルトンの停留作用の原理

物理的な軌道は、両端を固定した微小変分に対して作用 S = ∫L dt を停留させます。

ニュートン力学では、どの力が加速度を生むかを問います。解析力学では、同じ両端の状態を結ぶ可能な経路のうち、時間積分された量を停留させる経路はどれかを問います。その量が作用です。

S[q]=\int_{t_1}^{t_2} L(q,\dot q,t)\,dt, \qquad \delta S=0

定義: 作用と停留性

適切な保存系ではラグランジアンは $L=T-V$ （運動エネルギーからポテンシャルエネルギーを引いたもの）です。作用 $S$ の単位は J·s です。 $\delta S=0$ は一次の変分が消えることを意味し、常に最小値を取るという意味ではありません。経路は最小・最大・鞍点のいずれにもなり得ます。

経路の中点をドラッグして軌道を変えます。同じ両端を結ぶ停留軌道と作用を比較してください。

原理から運動方程式へ

$\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0$ を保ち、経路を $q(t)\to q(t)+\delta q(t)$ と変分します。 $\delta\dot q$ を含む項を部分積分すると、変分から微分を移せます。

\delta S=\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right)\delta q\,dt=0

区間内部で $\delta q(t)$ は任意なので、その係数はゼロでなければならず、オイラー＝ラグランジュ方程式が得られます。 $L=\tfrac12m\dot x^2-V(x)$ なら $m\ddot x=-dV/dx$ となり、ニュートンの第2法則です。

例: 自由粒子

質量 $m$ の粒子が力を受けずに $2$ 秒で $x=0$ から $x=2$ m へ移動します。古典的な軌道を求めなさい。

解答

$V=0$ ではオイラー＝ラグランジュ方程式は $m\ddot x=0$ です。速度は一定なので、秒を単位とすると $x(t)=t$ m です。

クイックチェック

経路を $q(t)\mapsto q(t)+\epsilon\eta(t)$ と変分し、 $\eta(t_1)=\eta(t_2)=0$ とすると、停留条件の意味が明確になります。一次まで展開して部分積分すると、 $\delta S=\int_{t_1}^{t_2}[\partial L/\partial q-d(\partial L/\partial\dot q)/dt]\eta(t)\,dt$ です。区間内部で $\eta$ は任意なので、角括弧内はゼロでなければならず、オイラー＝ラグランジュ方程式が得られます。端点固定は重要で、端点が自由なら自然境界条件も必要です。

古典軌道を特徴づける変分条件は何ですか。

$S=\int Ldt$ における作用の単位は何ですか。

参考文献

Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko (2002). Classical Mechanics