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ニュートン力学

仕事と仕事率

一定の力の仕事は、変位方向の力成分と変位の積です。仕事率は仕事をする速さを表します。

動かない壁を押すと疲れますが、壁への力学的仕事はゼロです。仕事は力、変位、その間の角度で決まり、仕事率は仕事をする速さを表します。

W=Fscos⁡θ,P=WΔtW=Fs\cos\theta,\qquad P=\frac{W}{\Delta t}

定義: 仕事と仕事率

一定の力 F⃗\vec F と変位 s⃗\vec s に対して、仕事は W=Fscos⁡θW=Fs\cos\theta（ジュール、J）です。θ\theta は両者のなす角です。平均仕事率は P=W/ΔtP=W/\Delta t（ワット、W）、瞬間仕事率は仕事の時間変化率です。変位に垂直な力の仕事はゼロです。

力・変位・引く角度を変え、仕事の符号と仕事率の変化を確認します。

仕事の符号

力の変位方向成分は正の仕事をし、物体にエネルギーを与えます。逆向き成分は負の仕事をし、力学的エネルギーを奪うことがあります。力と速度が平行なら瞬間仕事率は P=F⃗⋅v⃗=FvP=\vec F\cdot\vec v=Fv です。仕事と仕事率は別の量です。

例: 台車を引く

水平方向に 20 N20\,N で台車を 3 m3\,m 引くのに 4 s4\,s かかります。仕事と平均仕事率を求めましょう。

解答

W=Fs=60 JW=Fs=60\,J、P=W/Δt=60/4=15 WP=W/\Delta t=60/4=15\,W です。

仕事の単位はジュールです。1 N の力がその向きに物体を 1 m 動かすと 1 J の仕事をします。高さを変えずに袋を水平に運ぶと、上向きの支持力は水平変位と垂直なので力学的仕事はゼロです（身体は生物学的エネルギーを消費します）。同じ仕事でも、600 J を 3 s で行えば仕事率は 200 W です。

例: 階段を上る

質量 40 kg の生徒が 4 s で 2 m 上ります。g=10 m/s² として重力に逆らう仕事と平均仕事率を求めましょう。

解答

W=mgh=40×10×2=800 J、P=W/t=800/4=200 W です。

仕事と仕事率は単位が異なります。ジュールは移動したエネルギーを、ワットはその移動の速さを表します。出力の大きいモーターは同じ仕事をより速くできますが、異なる時間で常により多くのエネルギーを与えるとは限りません。P=W/tP=W/t では時間を秒にします。

クイックチェック

変位に垂直な力の仕事はいくらですか。

同じ仕事をより短い時間で行うと、平均仕事率はどうなりますか。

参考文献

  1. Young, Freedman (2019). University Physics