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解析力学

リウヴィルの定理

ハミルトン流は位相空間の体積を保存します。n自由度の可積分系では、正則な不変レベル集合はn次元トーラスをなします。

ハミルトン方程式は位相空間の非圧縮流を定めます。正準座標では、状態の束の位相体積は時間とともに変わりません。

∂ρ∂t+∇(q,p) ⁣⋅(ρ z˙)=0,∇(q,p) ⁣⋅z˙=0\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla_{(q,p)}\!\cdot(\rho\,\dot z)=0, \qquad \nabla_{(q,p)}\!\cdot\dot z=0

定義: 位相体積の保存

z=(q1,…,qn,p1,…,pn)z=(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n)に対し、ハミルトンベクトル場はq˙i=∂H/∂pi\dot q_i=\partial H/\partial p_i、p˙i=−∂H/∂qi\dot p_i=-\partial H/\partial q_iです。発散は混合微分の組ごとに相殺し、流れのヤコビアンは1となって位相体積が保存されます。これはハミルトン力学におけるリウヴィルの定理であり、すべての分布が一様密度だという意味ではありません。

2自由度可積分系の不変トーラス上を軌道が進みます。周波数比を変えて、閉軌道とトーラスを次第に覆う軌道を観察します。

可積分性との関係

位相体積の定理は一般のハミルトン流に成立します。リウヴィル＝アーノルドの定理はさらに、独立で互いにポアソン可換なn個の積分を持ち、正則なコンパクトレベル集合を持つ自律系の運動がn次元トーラス上にあることを示します。作用・角変数では角度は時間に線形に進みます。

例: 例

2自由度の可積分系で、独立な積分を固定しレベル集合がコンパクトなとき、4次元位相空間のどの面上を運動しますか。

解答

正解は2次元トーラスです。Liouville–Arnoldの定理により、nn自由度の可積分系でレベル集合 {F1=c1,…,Fn=cn}\{F_1=c_1,\dots,F_n=c_n\} がコンパクトで正則なら、その集合は nn 次元トーラス TnT^n になります。ここでは n=2n=2 なので軌道は T2T^2 上にあり、球面や直線ではありません。

クイックチェック

正準座標では位相空間速度場の発散は ∑i(∂q˙i/∂qi+∂p˙i/∂pi)=∑i(∂2H/∂qi∂pi−∂2H/∂pi∂qi)=0\sum_i(\partial\dot q_i/\partial q_i+\partial\dot p_i/\partial p_i)=\sum_i(\partial^2H/\partial q_i\partial p_i-\partial^2H/\partial p_i\partial q_i)=0 です。発散定理により、ハミルトン流で運ばれる小さな位相体積はその体積を保ちます。これは各軌道が静止することや分布が常に一様であることを意味しません。密度は変形し得ますが、位相体積を保つように運ばれます。この結果は平衡統計力学と位相密度のリウヴィル方程式の基礎です。

2自由度の可積分系で正則なコンパクトレベル集合を持つ場合、リウヴィル＝アーノルドの定理は運動がどの面上にあると述べますか。

自律系のハミルトン運動で保存される量はどれですか。

参考文献

  1. Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko (2002). Classical Mechanics
  2. L. D. Landau, E. M. Lifshitz (1976). Mechanics