解析力学

中心力場の運動、ケプラー問題

ケプラー問題は逆二乗の重力ポテンシャル中の運動を扱います。対称性によって半径方向の運動に帰着し、軌道は楕円、放物線、双曲線に分類されます。

中心ポテンシャルV(r)=−κ/rでは角運動量が保存されます。軌道は一平面内にあり、エネルギーEと角運動量Lで決まります。

ハミルトン＝ヤコビ法から軌道へ

ハミルトン＝ヤコビ方程式$∂S/∂t+H(q,∂S/∂q,t)=0$は主関数を定めます。静的なケプラー場では極座標で変数分離し、エネルギーと角運動量を定数として使います。Sを定数で微分すると運動が得られます。表示するS曲面は単純化した解の例であり、すべての軌道に共通するものではありません。

クイックチェック

極座標では有効ポテンシャルは $V_{\rm eff}(r)=L^2/(2\mu r^2)-\kappa/r$ です。遠心項は $r\to0$ で障壁を作り、重力は粒子を引き付けます。有効ポテンシャルの極小は半径 $r_0=L^2/(\mu\kappa)$ の円軌道に対応します。束縛エネルギー $E<0$ では半長軸 $a=-\kappa/(2E)$ の楕円軌道です。$E=0$ なら放物線、$E>0$ なら双曲線になります。二体問題の式では換算質量 $\mu$ を用い、中心質量固定はその極限近似です。