解析力学

一般化運動量とハミルトニアン

一般化運動量 $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ は座標 $q_i$ に共役な変数です。ルジャンドル変換によりラグランジアンからハミルトニアン $H$ が得られます。

ラグランジュ力学では位置と速度が自然な変数です。ハミルトン力学では速度を一般化運動量に置き換え、状態を位相空間 $(q,p)$ の点として表します。これは運動の構造を調べるのに特に有用です。

ルジャンドル変換

$p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ を逆に解いて $\dot q_i$ を $(q,p,t)$ で表せる場合、その速度を $H=\sum_i p_i\dot q_i-L$ に代入します。局所的な可逆性には速度に関するヘッセ行列 $\partial^2L/\partial\dot q_i\partial\dot q_j$ が非特異である必要があります。拘束系や特異系には別の扱いが必要です。

調和振動子では $p=m\dot q$ です。$\dot q=p/m$ を代入すると上のハミルトニアンが得られます。$H=E$ の等高線は $(q,p)$ 位相平面上の楕円で、周期運動は楕円に沿って進みます。

クイックチェック

ルジャンドル変換が可逆なのは、ヘッセ行列 $W_{ij}=\partial^2L/(\partial\dot q_i\partial\dot q_j)$ が非特異な場合に限られます。そのとき速度を $(q,p,t)$ で解き、位相空間上にハミルトニアンを定義できます。ヘッセ行列が特異なら正準拘束が存在し、別途扱う必要があります。電磁ポテンシャル中の荷電粒子は重要な例です。$L=\tfrac12m\dot{\mathbf r}^{2}+e\mathbf A\cdot\dot{\mathbf r}-e\phi$ から $\mathbf p=m\dot{\mathbf r}+e\mathbf A$ が得られ、力学的運動量 $m\dot{\mathbf r}$ だけではありません。