解析力学

剛体の回転、コマ、オイラー角

自由剛体の姿勢には3つの回転自由度があります。オイラー角は姿勢を表す一般化座標であり、物体固定系と空間系での角運動量は一般に異なる向きを向きます。

主軸まわりの回転は単純ですが、一般の運動では剛体の姿勢を追う必要があります。ZXZオイラー角は姿勢を3つの連続回転に分解します。

コマと歳差運動

高速回転する対称コマでは角運動量は対称軸にほぼ平行です。重力トルクがその向きを変え、歳差運動を生みます。トルクがLに垂直な遅い歳差近似では$Ω_p≈τ/L$です。この式は章動を含む全運動を表すものではありません。

クイックチェック

物体固定主軸系でのオイラー方程式には $I_1\dot\omega_1+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3=\tau_1$ が含まれ、残り二式は添字を巡回置換して得られます。外力トルクがゼロなら、最大または最小慣性モーメントの主軸まわりの定常回転は小さな擾乱に対して安定ですが、中間軸まわりは不安定です。高速回転するコマに横向きのトルクが働くと、角運動量ベクトルはゆっくり向きを変え、歳差運動が生じます。オイラー角には特定の姿勢で座標特異点がありますが、これは剛体の物理的特異点ではなく座標表示の限界です。

主軸3まわりの定常回転では $\omega_3$ は一定で、二つの横方向の方程式が微小擾乱を記述します。安定性は $(I_3-I_1)(I_3-I_2)$ の符号に依存し、最大・最小慣性軸では振動は有界ですが、中間軸では擾乱が成長し得ます。これはテニスラケット効果の基礎です。