解析力学

対称性とネーターの定理

作用の連続対称性は保存則をもたらします。時間並進不変性はエネルギー、空間並進不変性は運動量の保存に対応します。

ネーターの定理は、一見別々に見える法則の対称性と保存量を結び付けます。物理記述が連続変換で不変なら、運動方程式から時間に依存しないネーター量が導かれます。

\delta L=\frac{dF}{dt} \quad\Longrightarrow\quad Q=\sum_i p_i\,\delta q_i-F=\text{constant}

定義: 連続対称性とネーター電荷

連続変換 $q_i\to q_i+\epsilon\Delta q_i$ によってラグランジアンが全微分 $dF/dt$ だけ変わるなら、作用の対称性です。このとき解の上で $Q=\sum_i p_i\Delta q_i-F$ が保存されます。ここで $p_i=\partial L/\partial\dot q_i$ です。よく知られた単純形は $F=0$ の場合です。

中心ポテンシャルのまわりで座標軸を回転させます。系は変わらず、角運動量 L が保存されます。

よく知られた対称性

連続対称性	保存量
時間並進	エネルギー
空間並進	線運動量
空間回転	角運動量

中心力ポテンシャル $V(r)$ 中の粒子では、中心まわりの回転で $L=\tfrac12m\dot{\mathbf r}^{2}-V(r)$ は変わりません。 $z$ 軸回りの回転対称性は $L_z$ の保存を導き、中心力場では角運動量ベクトル全体が保存されます。

例: 循環座標から角運動量へ

質量 $m$ の粒子が平面内でポテンシャル $V(r)$ のもとを運動します。垂直軸まわりの角運動量が保存されることを示しなさい。

解答

$L=\tfrac12m(\dot r^2+r^2\dot\phi^2)-V(r)$ は $\phi$ に陽に依存しません。したがってオイラー＝ラグランジュ方程式より $p_\phi=\partial L/\partial\dot\phi=mr^2\dot\phi=L_z$ は一定です。

クイックチェック

一般には、ラグランジアンの変化が高々全時間微分 $\epsilon\,dF/dt$ となる連続変換 $q_i\mapsto q_i+\epsilon\Delta q_i$ を考えます。運動方程式の解に沿って、 $Q=\sum_i p_i\Delta q_i-F$ の時間微分はゼロです。対称性が時間を変えず $F=0$ なら、 $Q=\sum_i p_i\Delta q_i$ となります。対称性が座標だけでなく時間も変換する場合にはエネルギー項が加わり、定理の拡張形が必要です。

保存則にはラグランジアンが厳密に不変である必要はありません。全時間微分だけ変化するなら作用の変化は境界項に限られ、端点固定のもとで運動方程式は変わりません。そのためノーターの定理は厳密な不変性より広い対称性を扱えます。

時間並進対称性に対応する保存量は何ですか。

中心力ポテンシャルの回転対称性が保存する量は何ですか。

参考文献

Cornelius Lanczos (1970). The Variational Principles of Mechanics