ニュートン力学

力学的エネルギー保存則

保存力だけが仕事をするとき、運動エネルギーと位置エネルギーの和は一定です：K+U=const。

落下するボールは重力位置エネルギーが減少するにつれて速くなります。空気抵抗を無視すると、失われた位置エネルギーが運動エネルギーに変わり、力学的エネルギーの合計は保存されます。

E_{\rm m}=K+U=\text{constant}

定義: 力学的エネルギー

力学的エネルギー $E_m=K+U$ は系の運動エネルギーと位置エネルギーの和です。非保存力（摩擦・抵抗）が仕事をしなければ $K_i+U_i=K_f+U_f$ 。非保存力が仕事をすると $\Delta(K+U)=W_{\rm nc}$ となり、力学的エネルギーは熱などに変わりますが、全エネルギーは保存されます。

高さと速さの間でエネルギーが移る様子を観察し、摩擦を加えて熱への変換を確認します。

保存則の適用

二つの状態を選び、位置エネルギーの基準を一貫させて $K_i+U_i=K_f+U_f$ と書きます。高さ $h$ を静止から落下し、空気抵抗を無視すると $mgh=\frac12mv^2$ 、よって $v=\sqrt{2gh}$ です。質量は消去されます。

例: 落下後の速さ

高さ $5\,m$ から静止状態で物体を落とします。抵抗を無視し $g=10\,m/s^2$ として、地面直前の速さを求めましょう。

解答

$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times5}=10\,m/s$ です。

力学的エネルギー保存を使うには、二つの状態を選び、位置エネルギーの基準を統一し、抵抗や摩擦が有意な仕事をするか確認します。滑らかなレールでは位置エネルギーが運動エネルギーに変わりますが、粗いレールでは摩擦によって一部が熱になります。初めの力学的エネルギーが 50 J で摩擦が 8 J を奪えば、終わりは 42 J です。ただし物体・レール・周囲を含む全エネルギーは保存されます。

例: 摩擦のない滑り台

子どもが高さ 5 m から静止状態で摩擦なく滑ります。g=10 m/s² として下端の速さを求めましょう。

解答

mgh=½mv² より、v=√(2gh)=√100=10 m/s です。

最初に、最も低い位置を位置エネルギーのゼロとして選び、同じ基準で初期・終状態のエネルギーを書きます。初速度がゼロでなければ、初期の運動エネルギーも残します。保存則は計算を簡単にしますが、非保存力の確認に代わるものではありません。

クイックチェック

抵抗なしで落下する物体では、位置エネルギーが減ると運動エネルギーはどうなりますか。

摩擦で滑る物体が減速します。減少した力学的エネルギーの多くは何に変わりますか。

参考文献

Young, Freedman (2019). University Physics