ニュートン力学

重力および弾性による位置エネルギー

位置や変形に伴うエネルギーが位置エネルギーです。地表付近では U_g=mgh、理想ばねでは U_s=½kx² です。

高く持ち上げた物体は落下して仕事をし、圧縮ばねは物体を押し出せます。力の場での位置や変形に蓄えられるエネルギーが位置エネルギーです。基準値は任意に選べますが、仕事に関係するのは位置エネルギーの変化です。

U_g=mgh,\qquad U_s=\frac12kx^2

定義: 重力位置エネルギーと弾性エネルギー

地表付近で高さの基準を $h=0$ とすると、高さ $h$ の質量 $m$ は $U_g=mgh$ をもちます。ばね定数 $k$ （N/m）のばねを自然長から $x$ だけ変形すると、弾性範囲内で $U_s=\frac12kx^2$ を蓄えます。位置エネルギーはジュールで測り、基準値に依存します。フックの法則の範囲では力は $F=-kx$ です。

物体を持ち上げるか、ばねを変形させ、基準に対する位置エネルギーと運動への変換を観察します。

位置エネルギーと仕事

重力や理想ばねのような保存力の仕事は $W=-\Delta U$ です。摩擦などの非保存力による仕事がなければ、運動エネルギーと位置エネルギーの和は一定です。基準の選び方によって位置エネルギーが負になることもありますが、物理的に重要なのは変化量です。

例: 物体を持ち上げる

地表付近で質量 $2\,kg$ の物体を $3\,m$ 持ち上げます。 $g=10\,m/s^2$ として重力位置エネルギーの増加を求めましょう。

解答

$\Delta U_g=mg\Delta h=2\times10\times3=60\,J$ です。

重力位置エネルギーは選んだ基準からの高さに依存し、重力だけを考えるなら持ち上げる経路には依存しません。地表付近で $g=10 m/s²$ として 5 kg のリュックを 2 m 持ち上げると、位置エネルギーは 100 J 増えます。抵抗なく落下すれば、そのエネルギーは運動エネルギーに変わります。ばねは変形量を 2 倍にすると、式に $x²$ があるため弾性エネルギーは 4 倍になります。

例: 棚に置いたバッグ

質量 3 kg の袋を 4 m 持ち上げます。g=10 m/s² として位置エネルギーの増加を求めましょう。

解答

ΔU=m g Δh=3×10×4=120 J です。

クイックチェック

質量と g が一定のとき、高さが2倍になると重力位置エネルギーの変化はどうなりますか。

理想ばねが x だけ変形したときの弾性エネルギーは何ですか。

参考文献

Young, Freedman (2019). University Physics