Physique de la matière condensée
Rayonnement du corps noir et loi de Planck
Un corps noir à l’équilibre thermique émet un spectre déterminé uniquement par la température. La loi de Planck combine densité des modes électromagnétiques et statistique bosonique des photons, résout la catastrophe ultraviolette et conduit aux lois de Stefan–Boltzmann et de Wien.
Un corps noir idéal absorbe tout rayonnement incident ; à l’équilibre, son spectre universel ne dépend que de T, pas du matériau de la cavité. Chaque mode électromagnétique est un mode photonique bosonique de potentiel chimique nul.
Définition: Loi de Planck en fréquence
u(ν,T)dν est l’énergie rayonnée par unité de volume dans l’intervalle dν. La formule est une densité spectrale en fréquence ; la forme par longueur d’onde est différente et ne s’obtient pas par le seul remplacement ν=c/λ.
Modes quantifiés et lois limites
La densité de modes dans dν vaut 8πν²/c³ ; l’énergie moyenne par mode photonique vaut hν/[exp(hν/kBT)−1]. Leur produit donne le spectre de Planck. À basse fréquence, limite classique de Rayleigh–Jeans ; à haute fréquence, décroissance exponentielle de Wien.
L’intégration donne une densité d’énergie proportionnelle à T⁴, liée à la loi de Stefan–Boltzmann pour la puissance émise par surface. La loi de déplacement de Wien indique une longueur d’onde de pic inversement proportionnelle à T ; le pic dépend de la grandeur spectrale choisie.
Exemple: Exemple résolu
Un corps noir a λmax=580 nm. Avec b≈2,90×10⁻³ m·K, estimez sa température.
Solution
T=b/λmax≈(2,90×10⁻³)/(580×10⁻⁹)≈5,0×10³ K.
Vérification rapide
Le spectre de Planck résout la catastrophe ultraviolette en attribuant des énergies discrètes n hν aux oscillateurs échangeant avec le champ. L’énergie thermique moyenne des modes photoniques donne le dénominateur de Bose–Einstein à potentiel chimique nul ; 8πν²/c³ compte les deux polarisations et la densité de modes. L’intégration donne la loi de Stefan–Boltzmann et le pic en longueur d’onde suit la loi de Wien. Le changement de variable exige le jacobien |dν/dλ|=c/λ².
Une conséquence observable est le changement de couleur d’un objet chaud : le spectre se déplace vers les courtes longueurs d’onde et la puissance totale augmente rapidement. Les objets réels ne sont que des corps noirs approximatifs ; l’émissivité dépend de la longueur d’onde, de la direction et de la surface. À l’équilibre, la loi de Kirchhoff relie émissivité et absorptivité à même longueur d’onde et direction. Distinguer densité spectrale et radiance évite les confusions géométriques.
Quel est le potentiel chimique des photons du corps noir à l’équilibre ?
Quel signe figure au dénominateur de la distribution correspondante ?
Références
- Max Planck (1914). The Theory of Heat Radiation
- Charles Kittel, Herbert Kroemer (1980). Thermal Physics