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Physique de la matière condensée

Structure cristalline et réseau réciproque

Un cristal répète un motif sur un réseau de Bravais ; le réseau réciproque décrit la périodicité dans l’espace des vecteurs d’onde.

Un cristal répète un motif sur un réseau de Bravais ; le réseau réciproque décrit la périodicité dans l’espace des vecteurs d’onde.

R=∑iniai,ai⋅bj=2πδij\mathbf{R}=\sum_i n_i\mathbf{a}_i,\qquad \mathbf{a}_i\cdot\mathbf{b}_j=2\pi\delta_{ij}

Définition: Structure et diffraction

On choisit des vecteurs primitifs et un motif atomique à chaque nœud. Plusieurs mailles peuvent décrire le même cristal.

Faites tourner le feuillet de graphène pour voir les sous-réseaux A et B ; le réseau d’Ising ci-dessous montre l’ordre de spin qui diminue avec la température.

Modèle physique

On choisit des vecteurs primitifs et un motif atomique à chaque nœud. Plusieurs mailles peuvent décrire le même cristal.

R=∑iniai,ai⋅bj=2πδij\mathbf R=\sum_i n_i\mathbf a_i,\quad \mathbf a_i\cdot\mathbf b_j=2\pi\delta_{ij}

La base réciproque vérifie aᵢ·bⱼ=2πδᵢⱼ. La diffraction élastique transfère un vecteur réciproque ; la loi de Bragg exprime la même condition via l’espacement des plans.

Exemple: Exemple quantitatif

Pour un réseau cubique simple de paramètre a, d₁₀₀=a ; la condition de Bragg au premier ordre est 2a sinθ=λ.

Solution

Avec m=1 et d₁₀₀=a, 2d sinθ=λ donne 2a sinθ=λ.

Vérification rapide

La transformée de Fourier convertit la périodicité spatiale en pics discrets dans l’espace réciproque. Pour le vecteur de diffusion q, la diffraction exige q=G, un vecteur réciproque ; l’intensité dépend aussi du facteur de structure du motif atomique. Deux cristaux de même réseau de Bravais mais de bases différentes peuvent donc avoir des figures distinctes. La diffraction X ou neutronique permet ainsi d’inférer espacements, symétries et positions atomiques.

Pour un réseau orthogonal de paramètres a,b,c, les plans (hkl) ont un espacement dₕₖₗ=1/√[(h/a)²+(k/b)²+(l/c)²]. Dans un cristal cubique, cela devient dₕₖₗ=a/√(h²+k²+l²). Avec la loi de Bragg λ=2d sinθ, les angles de diffraction déterminent les paramètres du réseau. Certains pics sont toutefois éteints par le facteur de structure : tout triplet d’indices ne produit pas un pic observable.

Les indices de Miller (hkl) sont les coordonnées entières d’une normale dans la base réciproque, non celles d’un point réel. La symétrie regroupe les plans équivalents et se classe par groupes d’espace. Avec le facteur de structure, les extinctions systématiques identifient le type de réseau.

Dans la diffraction cristalline, à quel ensemble appartient le transfert de quantité de mouvement élastique ?

Combien de sous-réseaux atomiques contient la maille du graphène ?

Références

  1. Charles Kittel (2004). Introduction to Solid State Physics